Prosenttiyhtälöitä A4,5 ja B4,5

A4, B4 PROSENTUAALINEN MUUTOS

Kun suureen arvo kasvaa tai pienenee p %, perusarvona on aina arvo ennen muutosta. 

Muuttuneen arvon laskeminen onnistuu prosenttikertoimella: 

• kasvaneen arvon prosenttikerroin saadaan laskemalla yhteen $100%+p%$.  Saatu prosenttimäärä muutetaan desimaaliluvuksi siirtämällä pilkkua kahden numeron yli vasemmalle (= jakamalla luvulla 100)

       Esimerkiksi 'kasvaa 14%'  lasketaan prosenttikertoimella  $100%+14%=114%=1,14$

• vähentyneen arvon prosenttikerroin saadaan vastaavasti vähentämällä  $100%-p%$ ja muuttamalla saatu prosenttimäärä desimaaliluvuksi.

       Esimerkiksi 'vähenee 2,9%'  lasketaan prosenttikertoimella  $100%-2,9%=97,1%=0,971$

Kun muutoksia tapahtuu monta peräkkäin, edellisen muutoksen lopputulos on aina seuraavan perusarvo.

Pohdi alla olevia esimerkkejä. Ratkaisut löytyvät seuraavalta videolta

Esim. 7   95E-bensiinin hinta oli toukokuun alussa 1,524 €/litra. Se laski ensin 4,0% ja seuraavalla viikolla vielä   3,0%. 

a) Mikä oli silloin bensiinin hinta? Anna vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella.

b) Kuinka monta prosenttia hinta muuttui kaikkiaan? Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. 

Esim. 8  Tuotteen hinta laski maanantaina 15% ja nousi torstaina samoin 15%. Kuinka monta prosenttia ja kumpaan suuntaan muutos oli yhteensä?

A5, B5 PROSENTTIYHTÄLÖITÄ

Jos muutoksen lähtöarvo, siis perusarvo, tai muutosprosentti on tuntematon, voidaan käyttää prosenttiyhtälöä

$prosenttikerroin \cdot perusarvo =muuttunut arvo$

$p \cdot a =b$,

jolla B-vaihtoehdon mukaan on kaikki muutkin prosenttilaskut jo laskettu.

Esimerkiksi jos tunnetaan eläkeläislipun hinta 5,60 € ja tiedetään, että eläkeläisalennus on 30%, on yhtälössä alennettu hinta eli muuttunut arvo   $b=5,60$  ja 30 prosentin alennuksen prosenttikerroin $p = 100% - 30% = 70% = 0,70$. Saadaan yhtälö 

$0,70a = 5,60$          II  : 0,70

$a = \frac{5,60}{0,70}=8,00$€

Pohdi esimerkkejä 9 ja 10. Ratkaisut löydät tarvittaessa allaolevalta videolta (Esim. 9) ja H₅ P-tehtävästä (Esim.10).

Esim. 9  Tuija oli kesätöissä kioskimyyjänä ja pääsi samaan työhön seuraavanakin kesänä. Toiseksi kesäksi työnantaja nosti hänen palkkaansa 7,7 %.  Kuukausipalkka oli silloin 560€. Mikä oli ollut kuukausipalkka ensimmäisenä kesänä?

Esim. 10  Elintarvikkeiden arvonlisäveroprosentti on 14%, ja se lasketaan verottomasta hinnasta. Kuinka paljon arvonlisäveroa maksat kahvipaketin hinnassa, kun hyllyn reunassa näkyvä verollinen hinta on lähikaupassa  3,40 €?

PROSENTUAALINEN MUUTOS JA PROSENTTIYKSIKKÖ

Esimerkki 11:  SDP sai  vuoden 2015 eduskuntavaaleissa 16,5 % ja 2019 vaaleissa  17,7 % annetuista äänistä.

Kuinka monta prosenttiyksikköä SDP:n tulos parani vuoden 2015 vaaleista?

Muutos prosenttiyksikköinä:

vaalitulos parani $17,7% - 16,5 % = 1,2$ prosenttiyksikköä.

Kuinka monta prosenttia tulos parani verrattuna vuoden 2015 vaalitulokseen?

Lasketaan, montako prosenttia muutos on vuoden 2015 vaalituloksesta:

Muutos on siis 1,2 prosenttiyksikköä, kuten edellä laskettiin. 

$\frac{1,2 %}{16,5 %} \cdot 100 % \approx 7,3 %$ , joten prosentteina muutos on 7,3 %.