Aritmeettinen ja geometrinen summa

Lukujonon summasta puhutaan silloin, kun lasketaan yhteen jokin tietty määrä perättäisiä lukujonon jäseniä.


ARITMEETTINEN SUMMA

Aritmeettisen lukujonon summa saadaan selville laskemalla ensimmäisen ja viimeisen mukaan tulevan termin keskiarvo ja kertomalla se yhteenlaskettavien termien lukumäärällä.

$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$

Summan laskemiseksi voi siis joutua ensin selvittämään erotusluvun (eli differenssin), sitten ensimmäisen ja viimeisen mukaan tulevan termin (jäsenen) sekä kuinka monta jäsentä summaan lasketaan mukaan.

Esimerkiksi Pirjopetterin kesälomasäästöjen kokonaismäärä saadaan aritmeettisen summan avulla.
Lukuvuoden pituus oli 38 viikkoa. Ensimmäisellä viikolla hän laittoi talteen kaksi euroa ja viimeisellä viikolla ennen lomaa 113 euroa.

$n=38\\a_1=2\\a_{38}=113\\S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}\\S_{38}=38\cdot \frac{2+113}{2}=2185$



GEOMETRINEN SUMMA

Geometrisen summan laskemiseksi tarvitaan jonon suhdeluku, ensimmäinen summaan laskettava jäsen sekä summaan laskettavien jäsenten lukumäärä.

$S_n= \frac{a_1\cdot(1-q^n)}{1-q}$

Esimerkiksi shakin keksijän jyvien kokonaismäärä saadaan geometrisen summan avulla. Ensimmäisessä ruudussa oli yksi jyvä, jonon suhdeluku oli 2 ja ruutuja shakkilaudassa kaikkinensa 64 kappaletta.

$n=64\\a_1=1\\q=2\\S_{64}= \frac{1\cdot(1-2^{64})}{1-2} =1,8446...\ \cdot10^{19}$
 
Jos yksi vehnänjyvä painaa noin 50 mg, saadaan tämän jyvämäärän massaksi noin 920 miljardia tonnia. Maailman vuotuinen vehnäsato on nykyisin jonkun verran alle 700 miljonaa tonnia, joten pyydetty palkkio on nykysatoon verrattuna noin 1300 kertainen.


Oheisissa linkeissä on Matikkamatskujen videoita: