Potenssiyhtälön ratkaiseminen

Potenssiyhtälön perusmuoto on $x^n = a$. Esimerkiksi yhtälöt $x^5=-243$ ja $x^2 = \frac{1}{49}$ ovat potenssiyhtälöitä. Potenssifunktioiden kuvaajia tarkasteltaessa huomattiin, että funktion ominaisuudet riippuvat siitä, onko eksponentti n parillinen vai pariton. Myös potenssiyhtälöä ratkaistaessa funktioiden erilaiset ominaisuudet on otettava huomioon.

Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöitä 

a)  $x^3=-64$ 

b)  $2x^2-16=0$ ja

c) $5x^2+125=0$

PARITON EKSPONENTTI

a) yhtälössä  $x^3=-64$ kysytään, mikä luku on korotettava kolmanteen potenssiin, että saadaan -64. Tämä sama kysymys liittyi myös kuutiojuureen. Yhtälön ratkaisu saadaankin ottamalla yhtälöstä puolittain kuutiojuuri (kolmas juuri):

$x= \sqrt[3]{-64}=-4$ 

Kuvassa on funktion $f(x)=x^3$ kuvaaja. Kuvaajan perusteella funktio saa arvon -64 vain, kun x = -4. 

Yhtälö voidaan ratkaista, koska negatiivisillakin luvuilla on kuutiojuuri. Ratkaisuja on yksi, x = -4.

PARILLINEN EKSPONENTTI 

b) Yhtälöä $2x^2-16=0$ pitää ensin muokata niin, että toiselle puolelle jää vain $x^2$ ja toiselle puolelle luku. Jos yhtälö saadaan tällaiseen muotoon, se on potenssiyhtälö ja ratkaisu löytyy juurella. Siirretään siis -16 yhtälön oikealle puolelle:

$2x^2=16$                  $\parallel : 2$

$x^2 = 8$

Tarkastellaan tässä vaiheessa funktion $f(x)=x^2$ kuvaajaa.

Kuvaajan perusteella funktio saa arvon kahdella muuttujan x arvolla, joiden likiarvot ovat kuvaajan perusteella $x \approx 2,8$ ja  $x \approx -2,8$.

Yhtälö ratkaistaan ottamalla molemmilta puolilta toinen juuri eli neliöjuuri. Koska neliöjuuri on määritelmän mukaan aina positiivinen, mutta yhtälölle pitäisi löytää kaikki ratkaisut, siis myös negatiivinen, on neliöjuurimerkin eteen merkittävä $\pm$, joka tarkoittaa, että ratkaisuja tulee kaksi, sekä neliöjuuri että sen vastaluku. Saadaan tarkaksi vastaukseksi

$x =\pm \sqrt{8} (= \pm 2 \sqrt{2})$.

Tämä vastaus on tarkka ja pitää ainakin olla näkyvillä. Lisäksi likiarvon saa laskimella.

c)  Yhtälön $5x^2+125=0$ ratkaiseminen aloitetaan jälleen muokkaamalla yhtälö muotoon $x^n=a$. Saadaan:

$5x^2=-125$                $\parallel : 5$  

$x^2=-5$                      

$x= \pm \sqrt{-5}$, mutta negatiivisella luvulla ei ole neliöjuurta, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Potenssiyhtälön $x^n=a$ ratkaiseminen:

1. n on pariton. Yhtälöllä on aina yksi ratkaisu $x= \sqrt[n]{a}$
2. n on parillinen. Kun $x > 0$, yhtälöllä on kaksi ratkaisua, $x = \pm \sqrt[n]{a}$. Kun $x$, yhtälöllä ei ole ratkaisua. Erikoistapauksessa x = 0 ratkaisuja on yksi.