MAA2_2020: Teoreema

Teoreema

Johdantotehtävässä esitelty Pascalin kolmio auttaa päättelemään tarvittavat kertoimet binomin potensseja avattaessa. Näitä sovelletaan muun muassa todennäköisyyslaskennassa binomijakauman yhteydessä. Tässä luvussa opiskeltava binomin neliö ja summan ja erotuksen tulo ovat yhdet keskeisimmistä kaavoista, joita käytetään lukion matematiikassa. Niiden syvällinen ymmärtäminen ja soveltaminen molempiin suuntiin auttaa useiden tehtävien ratkaisemisessa myös tulevilla kursseilla.

Summan ja erotuksen tulo

Summan ja erotuksen tulolla tarkoitetaan kahden monomin summa- ja erotuslauseketta. Opit luvussa 1 laskemaan summan ja erotuksen tulon seuraavasti: $\textcolor{#000000}{\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2}$ .Tämä laskuoperaatio voidaan jättää jatkossa tekemättä vetoamalla summan ja erotuksen tulon kaavaan

Summan ja erotuksen tulon kaava:

$\textcolor{#000000}{\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2}$

Esimerkki 1: Summan ja erotuksen tulo

Sievennä seuraavat summan ja erotuksen tulot:

a) $\textcolor{#000000}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

Ratkaisu:

$\textcolor{#000000}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x^2-2^2=x^2-4}$

Vastaus: $\textcolor{#000000}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x^2-4}$

b) $\textcolor{#000000}{\left(3x+4\right)\left(3x-4\right)}$

Ratkaisu:
$\textcolor{#000000}{\left(3x+4\right)\left(3x-4\right)=\textcolor{#000000}{\left(3x\right)^2-4^2=}}$
$\textcolor{#000000}{9x^2-16}$

Vastaus: $\textcolor{#000000}{\left(3x+4\right)\left(3x-4\right)=}9x^2-16$

Summan ja erotuksen tulon kaavaa voi soveltaa myös toiseen suuntaan, kun tarkoituksena on jakaa neliöiden erotus tekijöihin. Tällöin merkitään: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .

Esimerkki 2: Tekijöihin jako summan ja erotuksen tulon kaavan avulla

Jaa tekijöihin

a) $x^2-4$

Ratkaisu:

$x^2-4=x^2-2^2$ $=(x+2)(x-2)$

Vastaus: $x^2-4$ $=(x+2)(x-2)$

b) $4x^2-1$

Ratkaisu:

$4x^2-1=(2x)^2-1^2$ $=(2x+1)(2x-1)$

Vastaus: $4x^2-1$ $=(2x+1)(2x-1)$

Binomin neliö

Binomilla tarkoitetaan kahden termin polynomilauseketta. Kun puhutaan neliöstä, kyseinen lauseke korotetaan potenssiin kaksi. Binomin summan neliö voidaan laskea seuraavasti: $\left(a+b\right)^{2} = \left(a+b\right)\left(a+b\right) = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} +2ab+b^{2}$ ja binomin erotuksen neliö: $\left(a-b\right)^{2} = \left(a-b\right)\left(a-b\right) = a^{2} - ab - ab + b^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ . Tämä laskuoperaatio voidaan jatkossa jättää tekemättä vetoamalla binomin neliön kaavaan.

Binomin neliön kaavat

Summa: $\left(a+b\right)^{2} =$ $a^{2} + 2ab + b^{2}$

Erotus: $\left(a-b\right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$

Esimerkki 3: Binomin neliö

Korota binomi neliöön

a) $\left(x+3\right)^{2}$

Ratkaisu:

Käytetään binomin neliön kaavaa

$\left(x+3\right)^{2} =$ $x^{2} + 2 \cdot x\cdot 3 + 3^{2} =$ $x^{2} +6x+9$

Vastaus: $x^{2} +6x+9$

b) $\left(2x-3\right)^{2}$

Ratkaisu:

Käytetään binomin neliön kaavaa:

$\left(2x-3\right)^{2} = \left(2x\right)^{2} -2\cdot 2x\cdot 3+3^{2} =$ $x^{2} - 12x + 9$

Vastaus: $x^{2} - 12x + 9$

c) $\left(3x+4\right)^{2}$

Ratkaisu:

Käytetään binomin neliön kaavaa:

$\left(3x+4\right)^{2} =$ $\left(3x\right)^{2} + 2\cdot 3x\cdot 4 + 4^{2} =$ $9x^{2} + 24x +16$

Vastaus:

$9x^{2} + 24x +16$

Binomin neliön kaavaa voidaan hyödyntää tekijöihin jakamisessa. Tällöin kaavaa sovelletaan toiseen suuntaan eli $a^{2} + 2ab + b^{2} =(a+b)^2$ .

Esimerkki 4: Tekijöihin jako binomin neliön kaavan avulla

Jaa tekijöihin

a) $4x^2+4x+1$

Ratkaisu:

$4x^2+4x+1=(2x)^2+2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2$

Huomataan, että binomin neliön kaavan $a^{2} + 2ab + b^{2} =(a+b)^2$ mukaan on lausekkeessa $4x^2+4x+1$ , $a=2x$ ja $b=1$ . Lauseke sievenee muotoon:

$(2x+1)^2$

Vastaus: Tekijät ovat $2x+1$ ja $2x+1$

b) $25x^2-30x+9$

Ratkaisu:

$25x^2-30x+9=(5x)^2-2 \cdot 5x \cdot 3+3^2$ '

Huomataan, että binomin neliön kaavan $a^{2} - 2ab + b^{2} =(a-b)^2$ mukaan on lausekkeessa $25x^2-30x+9$ , $a=5x$ ja $b=3$ . Lauseke sievenee siis muotoon: $(5x-3)^2$

Vastaus: Tekijät ovat $5x-3$ ja $5x-3$

Binomin kuutio

Binomin kuutiolla tarkoitetaan, että binomi korotetaan kolmanteen potenssiin. Binomin summan kuutio voidaan laskea seuraavasti:

$\left(a+b\right)^{3} = \left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right) = \left(a+b\right)\left(a+b\right)^2$

Kun käytetään binomin neliön kaavaa, niin $\left(a+b\right) \left(a^2+2ab+b^2\right)=a\left(a^2+2ab+b^2\right)+b\left(a^2+2ab+b^2\right)$ $=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .

Vastaavasti binomin erotuksen kuutio voidaan laskea seuraavasti:

$\left(a-b\right)^{3} = \left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right) = \left(a-b\right)\left(a-b\right)^2$ $=\left(a-b\right) \left(a^2-2ab+b^2\right)=a\left(a^2-2ab+b^2\right)-b\left(a^2-2ab+b^2\right)$ $=a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ .

Nämä laskuoperaatiot voidaan jättää jatkossa tekemättä vetoamalla binomin kuution kaavaan.

Binomin kuution kaava

Summa: $\left(a+b\right)^{3} =$ $a^{3} + 3a^2b + 3ab^2+b^{3}$

Erotus: $\left(a-b\right)^{3} = a^{3} - 3a^2b +3ab^2- b^{3}$

Esimerkki 5: Binomin kuutio

Korota binomit kuutioon

a) $\left(2x + 3\right)^{3}$

Ratkaisu:

Sovelletaan binomin muistikaavaa $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ , kun $a=2x$ ja $b=3$ .

$\left(2x + 3\right)^{3} =(2x)^{3} + 3\cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3\cdot 2x \cdot 3^2 + 3^{3} =$ $8x^{3}+ 36x^{2} + 54x +27$

Vastaus: Siis $\left(2x + 3\right)^{3}$ = $8x^{3}+ 36x^{2} + 54x +27$

b) $\left(x -2\right)^{3}$

Ratkaisu:

Sovelletaan binomin muistikaavaa $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ , kun $a=x$ ja $b=-2$ .

$\left(x - 2\right)^{3} =x^{3} + 3\cdot x^2 \cdot (-2) + 3\cdot x \cdot (-2)^2 + (-2)^{3} =$ $x^{3} -6x^{2} + 12x -8$

Vastaus: Siis $\left(x -2\right)^{3} = x^3-6x^2+12x-8$

Binomin kuution kaavaa voidaan hyödyntää tekijöihin jakamisessa. Tällöin kaavaa sovelletaan toiseen suuntaan eli $a^{3} + 3a^2b + 3ab^2+b^{3}$ $=\left(a+b\right)^{3}$ .

Esimerkki 6: Tekijöihin jako binomin kuution kaavan avulla

Jaa tekijöihin kolmannen asteen polynomilauseke

a) $x^3-6x^2+12x-8$

Ratkaisu:

$x^3-6x^2+12x-8=x^3+3 \cdot x^2 \cdot (-2)+3 \cdot x \cdot (-2)^2+(-2)^3=$ $(x-2)^3$

Vastaus: Tekijät ovat $x-2$ , $x-2$ ja $x-2$

b) $27x^3+81x^2+81x+27$

Ratkaisu:

$27x^3+81x^2+81x+27=(3x)^3+3 \cdot (3x)^2\cdot 3+3 \cdot 3x\cdot 3^2+3^3=$ $(3x+3)^3$

Vastaus: Tekijät ovat $3x+3$ , $3x+3$ ja $3x+3$

Binomin potenssien kaavat voi päätellä helposti myös Pascalin kolmion avulla. Pascalin kolmioon tutustuit tämän luvun introtehtävässä.

Pascalin kolmio ja binomin potenssit

Pascalin kolmiossa seuraava rivi saadaan aina alkuun ja loppuun laittamalla luku yksi ja uudelle riville lasketaan yläpuolella olevat kaksi vierekkäistä lukua yhteen. Ensimmäisessä eli binomin neliön tapauksessa Pascalin kolmiosta otetaan kertoimet 1, 2, 1 . Ensimmäisen termin potenssin menevät summalausekkeessa potensseihin 2, 1 ja 0. Vastaavasti toisen termin potenssit menevät summalausekkeessa potensseihin 0, 1 ja 2. Siis: $(a + b)^{2} = 1 \cdot a^{2}b^0 + 2\cdot a^1b^1 + 1\cdot a^0 b^{2}$ . Binomin kuution lausekkeen termien kertoimet saadaan vastaavasti Pascalin kolmiosta. Neljännen rivin kertoimet ovat 1, 3, 3 ja 1. Potenssiin korotettava ensimmäinen termi kirjoitetaan summalausekkeessa potensseihin 3, 2, 1 ja 0. Edelleen toinen termi kirjoitetaan summalausekkeessa potensseihin 0, 1, 2 ja 3. Siis: $(a + b)^{3} = 1 \cdot a^{3} b^0 + 3 \cdot a^{2}b^{1} + 3 \cdot a^{1}b^{2} + 1\cdot a^0 b^{3}$ .

Binomin muistikaavoja:	kertoimet
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$	$1$ $2$ $1$
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$	$1$ $3$ $3$ $1$
$(a + b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}$	$1$ $4$ $6$ $4$ $1$

Esimerkki 7. Binomeja Pascalin kolmion avulla

Hyödynnä Pascalin kolmiota korottaessasi potenssiin seuraavat binomit:

a) $\left(a+b\right)^{2}$

Ratkaisu:

Kertoimet (1, 2, 3) saadaan Pascalin kolmion kolmannelta riviltä.

$\left(a+b\right)^{2} =1\cdot a^{2} b^{0} +2\cdot a^{1} b^{1} +1\cdot a^{0} b^{2}$ Huomaa, että $a$ :n ja $b$ :n eksponenttien summa on aina $2$ .

Huomaa, että termin $a$ potenssit ovat 2, 1, 0 ja termin $b$ potenssit ovat 0, 1, 2.

Vastaus: $\left(a + b\right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$

b) $\left(a + b\right)^{3}$

Ratkaisu:

Kertoimet (1, 3, 3, 1) saadaan Pascalin kolmion neljänneltä riviltä.

$\left(a+b\right)^{3} = 1\cdot a^{3} b^{0} + 3\cdot a^{2} b^{1} + 3\cdot a^{1} b^{2} + 1\cdot a^{0} b^{3}$

Huomaa, että termin $a$ potenssit ovat 3, 2, 1 ja 0 ja termin $b$ potenssit ovat 0, 1, 2 ja3.

Vastaus: $\left(a + b\right)^{3}$ = $a^{3} + 3a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3}$

c) $\left(x + 2\right)^{3}$

Ratkaisu:

Kertoimet (1, 3, 3, 1) saadaan Pascalin kolmion neljänneltä riviltä.

$\left(x + 2\right)^{3} = 1\cdot x^{3} 2^{0} + 3\cdot x^{2} 2^{1} + 3\cdot x^{1} 2^{2} + 1\cdot x^{0} 2^{3} =$

Huomaa, että $x$ potenssit menevät 3, 2, 1, 0 ja termin 2 potenssit menevät 0, 1, 2, 3.

Siis $x^{3} + 6x^{2} +12x + 8$

Vastaus: $\left(x + 2\right)^{3}$ = $x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8$

d) $(x - 1)^{3}$

Ratkaisu:

$(x - 1)^{3} = 1 \cdot x^{3} \cdot (-1)^{0} + 3 \cdot x^{2} \cdot (-1)^{1} + 3 \cdot x^{1} \cdot (-1)^{2} + 1 \cdot x^{0} \cdot (-1)^{3} =$ $x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1$

Vastaus: $x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1$

e) $\left(a+b\right)^{4}$

Ratkaisu:

$\left(a + b\right)^{4} =$ $1\cdot a^{4} \cdot b^{0} +4 \cdot a^{3} \cdot b^{1} + 6\cdot a^{2} \cdot b^{2} + 4\cdot a^{1} \cdot b^{3} + 1\cdot a^{0} \cdot b^{4} =$ $a^{4} + 4a^{3} b + 6a^{2} b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}$

Huomaa, että kertoimet saadaan Pascalin kolmion viidenneltä riviltä ja potenssit termeillä menevät joko alaspäin 4 - 0 tai ylöspäin 0 - 4.

Binomin kuutioon täydentämistä voidaan tutkia myös GeoGebran avulla.

Binomin kuutioon täydentäminen GeoGebralla

Esimerkki 8. Binomin kuutioon täydentäminen GeoGebralla

Määritä parametri c siten, että lauseke $x^3 + 3x^2 + 3x + c$ voidaan esittää binomin kuutiona.

Ratkaisu:

Merkitään $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + c$ ja kirjoitetaan se GeoGebran syöttökenttään. Luo c:lle myös liukusäädin.

Säädetään c:n arvoa siten, että niinkutsuttu terassikohta, missä funktion kulmakerroin on nolla, asetetaan $x$ -akselin kohdalle.

Kirjoitetaan vielä GeoGebran syöttökenttään: Tekijät(f(x)), niin saadaan:

Tästä voidaan päätellä, että tekijä $(x + 1)$ esiintyy kolme kertaa. Joten:

Vastaus: Lauseke voidaan siis esittää $(x + 1)^{3}$

Seuraavassa lisätietolaatikossa kerrataan MAY1-kurssilla ollut summamerkintä ja tutustutaan varsinaiseen binomikaavaan ja siihen miltä se todellisuudessa näyttää. Aiemmin tässä luvussa esitetyt binomin kaavat ovat osittain riisuttuja versioita, mutta silti oikein toimivia.

Binomikaava summamerkintänä

Kurssilla MAY1 opiskeltiin summamerkintä:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i} =x_{1} +x_{2} +\cdots +x_{n-1} +x_{n}$

Tämä luetaan: Summa $i$ käy $1$ :stä $n$ :n saakka termille $x_{i}$ .

Se on $x_{1} + x_{2} + \cdot\cdot\cdot + x_{n-1} + x_{n}$

Seuraavassa esimerkissä palautetaan mieleen, miten summamerkintä toimii.

Esimerkki 8. Summan kaava

Kirjoita summamerkintä auki $\sum _{i=3}^{5}a_{i}$

Ratkaisu:

$\sum _{i=3}^{5}a_{i} =$ $a_{3} + a_{4} + a_{5}$

Binomin korkeammat potenssit voidaan laskea myös seuraavalla binomikaavalla:

Binominkaava

$\left(a+b\right)^{n} = \sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}$

missä merkintä $\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$ ja $n! = n\cdot \left(n - 1\right)\cdot \left(n - 2\right)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$ .

Tähän $n$ yli $k$ merkintään palataan myöhemmin todennäköisyys ja tilastot-kurssilla.

Käytännössä $\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right)$ arvot saadaan suoraan Pascalin kolmion riveiltä.

Seuraavassa esimerkissä tutustutaan, miten binomin kaavaa käytetään.

Esimerkki 9: Binominkaava

Korota lauseke $\left(2x + 3y\right)^{3}$ kolmanteen potenssiin käyttäen apuna korkeamman potenssin binomikaavaa.

Ratkaisu:

$\left(2x + 3y\right)^{3} = \sum _{k=0}^{3}\left(\begin{array}{l} {3} \\ {k} \end{array}\right) \cdot (2x)^{3-k} \cdot (3y)^{k} =$

$\left(\begin{array}{l} {3} \\ {0} \end{array}\right)(2x)^{3-0} \cdot (3y)^{0} +\left(\begin{array}{l} {3} \\ {1} \end{array}\right)(2x)^{3-1} \cdot (3y)^{1} +\left(\begin{array}{l} {3} \\ {2} \end{array}\right)(2x)^{3-2} \cdot (3y)^{2} +\left(\begin{array}{l} {3} \\ {3} \end{array}\right)(2x)^{3-3} \cdot (3y)^{3} =$

Huomaa, että kertoimet $\left(\begin{array}{l} {3} \\ {0} \end{array}\right)=1$ , $\left(\begin{array}{l} {3} \\ {1} \end{array}\right)=3$ , $\left(\begin{array}{l} {3} \\ {2} \end{array}\right)=3$ ja $\left(\begin{array}{l} {3} \\ {3} \end{array}\right)=1$ , jotka saadaan Pascalin kolmion neljänneltä riviltä.

$1\cdot (2x)^{3-0} \cdot (3y)^{0} + 3\cdot (2x)^{3-1} \cdot (3y)^{1} + 3\cdot (2x)^{3-2} \cdot (3y)^{2} + 1\cdot (2x)^{3-3} \cdot (3y)^{3} =$ $8x^{3} + 36x^{2} y + 54xy^{2} + 27y^{3}$ .

Viimeksi muutettu: torstai 21. toukokuu 2020, 08.56

MAA2_oppikirjattomuushanke

Sisältö

Teoreema

Teoreema

Summan ja erotuksen tulo

Esimerkki 1: Summan ja erotuksen tulo

Esimerkki 2: Tekijöihin jako summan ja erotuksen tulon kaavan avulla

Binomin neliö

Esimerkki 3: Binomin neliö

Esimerkki 4: Tekijöihin jako binomin neliön kaavan avulla

Binomin kuutio

Esimerkki 5: Binomin kuutio

Esimerkki 6: Tekijöihin jako binomin kuution kaavan avulla

Binomin kuutioon täydentäminen GeoGebralla

Esimerkki 8. Summan kaava