MAA2_2020: Teoreema

Teoreema

INTRO-muistipelin tarkastelua

INTO-muistipelissä yhdistettiin neljä funktiota ja niitä vastaavat kuvaajat. On syytä tarkstella vielä seikat, miksi ja millä perusteella kaksi kuvaa yhdistettiin toisiinsa.

Pari 1:

Tässä parissa funktio on ensimmäistä astetta ja se on nouseva / kasvava. Suoran kulmakerroin $\textcolor{#000000}{k=1}$ . Lisäksi suoran nollakohta on 2. Tämä tulos saadaan, kun binomi $\textcolor{#000000}{\left(x-2\right)}$ asetetaan nollan kanssa yhtä suureksi.

$\textcolor{#000000}{x-2=0}\ \mid+2$
$\textcolor{#000000}{x=2}$

Pari 2:

Tässä parissa funktio on ensimmäistä astetta ja laskeva / vähenevä. Suoran kulmakerroin on $\textcolor{#000000}{k=-\frac{1}{2}}$ . Lisäksi suoran nollakohta on 2. Tämä tulos saadaan, kun lauseke $\textcolor{#000000}{-\frac{1}{2}\left(x-2\right)}$ asetetaan nollan kanssa yhtä suureksi.

$\textcolor{#000000}{-\frac{1}{2}\left(x-2\right)=0}\ \mid\cdot\left(-2\right)$
$\textcolor{#000000}{x-2=0\ \ \mid+2}$

$\textcolor{#000000}{x=2}$

Pari 3:

Tässä parissa funktio on toista astetta ja sen kuvaajana on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktion nollakohdat ovat $\textcolor{#000000}{x=-1\ \ \mathrm{tai}\ \ x=3}$ . Ne voidaan päätellä, kun binomit $\textcolor{#000000}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$ asetetaan nollan kanssa yhtä suureksi. $\textcolor{#000000}{\left(x+1\right)}$ ja $\textcolor{#000000}{\left(x-3\right)}$ asetetaan nollan kanssa yhtä suureksi, eli $\textcolor{#000000}{\left(x+1\right)=0}$ tai $\textcolor{#000000}{\left(x-3\right)=0}$ .

Pari 4:

Tässä parissa funktio on toista astetta ja sen kuvaajana on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktion nollakohdat ovat . Funktion nollakohdat voidaan päätellä, kun lausekkeen $\textcolor{#000000}{x\left(x-2\right)}$ tekijät $\textcolor{#000000}{x}$ ja $\textcolor{#000000}{\ \left(x-2\right)}$ asetetaan nollan kanssa yhtä suureksi.

Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktion kuvaajaa kutsutaan paraabeli. Kun polynomifunktio muodostetaan $\textcolor{#000000}{f\left(x\right)}$ :n suhteen niin funktion kuvaajana voi olla joko ylöspäin tai alaspäin aukeava paraabeli. Toisen asteen polynomifunktio on muotoa $p(x) = ax^2 + bx + c$ .

$p(x) = ax^2 + bx + c$ ,

missä kertoimet $a, b, c, \in \mathbb{R}$ ja $a \ne 0$ .

Esimerkki 1.

Tässä esimerkissä tarkastellaan toisen asteen funktioiden kuvaajia. Tutki alla olevien funktioiden (A - E) kuvaajia piirto-ohjelmalla (GeoGebra).

$\textcolor{#000000}{\begin{matrix} A:&f\left(x\right)=2x^2-4x\\ B:&g\left(x\right)=-x^2+3x\\ C:&h\left(x\right)=3x^2-1\\ D:&k\left(x\right)=x^2+4x+4\\ E:&l\left(x\right)=-x^2-6x-9 \end{matrix}}$

a) Mitkä funktioiden kuvaajista ovat ylöspäin aukeavia paraabeleja?

b) Mitkä funktioiden kuvaajista ovat alaspäin aukeavia paraabeleja?

Ratkaisu:

Piirretään funktioiden kuvaajat piirtoohjelmalla GeoGebra:

$\textcolor{#000000}{x=0\ \ \mathrm{tai}\ \ x=2}$

a) Mitkä funktioiden kuvaajista ovat ylöspäin aukeavia paraabeleja?

Kuvaajien perusteella kohtien A, C ja D kohtien funktiot ovat ylöspäin aukeavia.

b) Mitkä funktioiden kuvaajista ovat alaspäin aukeavia paraabeleja?

Kuvaajien perusteella kohtien B ja E kohtien funktiot ovat ylöspäin aukeavia.

Paraabelin aukeamissuunta

Periaatteessa paraabelin kuvaaja voi aueta ylöspäin, alaspäin, oikealle, vasemmalle, kaakkoon, luoteeseen, jne. Siis ihan mihin suuntaan tahansa. Kun toisen asteen funktio on muotoa $p(x) = ax^2 + bx + c$ , niin paraabeli aukeaa joko ylöspäin tai alaspäin. Esimerkin 1 perusteella voidaan päätellä, että toisen asteen termin kerroin vaikuttaa paraabelin aukeamissuuntaan. Tarkastellaan toisen asteen kerrointa $\textcolor{#000000}{a}$ .

Olkoon toisen asteen funktio $p(x) = ax^2 + bx + c$ , $a, b, c, \in \mathbb{R}$ ja $a \ne 0$ .

Jos $\textcolor{#000000}{a}>0$ , niin funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.

Jos $\textcolor{#000000}{a}<0$ , niin funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Alla olevassa kuvassa funktion $\textcolor{#000000}{f}$ toisen asteen termin kerroin 2 on positiivinen. Funktion $\textcolor{#000000}{f}$ kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Vastaavasti funktion $\textcolor{#000000}{g}$ toisen asteen termin kerroin (-1) on negatiivinen. Funktion $\textcolor{#000000}{g}$ kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Paraabelin nollakohdat

Toisen asteen funktion kuvaaja on paraabeli ja sillä on 0, 1 tai 2 nollakohtaa.

Alla olevassa kuvassa funktiolla $\textcolor{#000000}{f\ \ \mathrm{ja}\ \textcolor{#000000}{g}}$ ei ole nollakohtia.

Alla olevassa kuvassa funktiolla $\textcolor{#000000}{f\ \ \mathrm{ja}\ \textcolor{#000000}{g}}$ on yksi nollakohtia.

Alla olevassa kuvassa funktiolla $\textcolor{#000000}{f\ \ \mathrm{ja}\ \textcolor{#000000}{g}}$ on molemmilla kaksi nollakohtaa.

Piirto-ohjelmalla GeoGebra nollakohdat saadaan määritettyä funktiolla Nollakohta( <Polynomi> ) tai komentopainikkeella Juuret. Alla olevassa kuvassa juuret toiminto on ympyröity punaisella.

Paraabelin huippu

Paraabelin kuvaajasta voidaan huomata, että sen huippu on nollakohtien puolessa välissä. Tämä x-koordinaatti saadaan laskettua, kun lasketaan nollakohtien keskiarvo. Kun laskettu x-koordinaatti sijoitetaan funktioon niin saadaan y-koordinaattikin laskettua,

Jos funktion $\textcolor{#000000}{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}$ nollakohdat ovat $\textcolor{#000000}{x_{1\ }\ \mathrm{ja\ }\ x_2}$ ,

niin funktion huipun x-koordinaatti on $\textcolor{#000000}{x_h=\frac{x_1+x_2}{2}}$ ja y-koordinaatti $\textcolor{#000000}{y_h=f\left(x_h\right)}$

Paraabelin huippu on kohdassa $\textcolor{#000000}{\left(x_h{,}\ y_h\right)}$ .

GeoGebralla paraabelin huippu saadaan Ääriarvo-toiminnolla, joka on alla olevassa kuvassa ympyröity punaisella.

Esimerkki 2.

Määritä paraabelin $f\left(x\right)=-x^{2} +6x$ huipun koordinaatit, kun sen nollakohdat ovat $0$ ja $6$ .

(CC-BY, PIXABAY)

Ratkaisu:

Lasketaan ensin nollakohtien keskiarvo, niin saadaan huipun $x$ -koordinaatti.

$x_{h} =\frac{0+6}{2} =3$

Sijoitetaan huipun $x$ -koordinaatti funktioon $f(x)$ , niin saadaan huipun $y$ -koordinaatti.

$y_{h} =f(3)=-3^{2} +6\cdot 3=9$

Vastaus: $\left(x_{h} ,y_{h} \right)=\left(3,9\right)$

Esimerkki 3.

Tutki piirto-ohjelman avulla seuraavia tapauksia.

a) Miksi funktiolla $f\left(x\right)=x^{2} +2x+7$ ei ole nollakohtia?

b) Määritä paraabelin $f\left(x\right)=x^{2} +2x+7$ huipun koordinaatit.

Ratkaisu:

a) Kirjoitetaan funktio $f\left(x\right)=x^{2} +2x+7$ GeoGebran syöttökenttään.

Funktion $f$ kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Kuvaajasta nähdään, että funktiolla ei ole nollakohtia.

Vastaus: Funktion Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, eikä funktio leikkaa x-akselia. Funktiolla ei ole nollakohtia.

b) Funktion ääriarvot-työkalulla, joka löytyy pistekomentopainikkeen alavalikosta, saadaan selvitettyä paraabelin huipun koordinaatit helposti.

Vastaus: $\left(x_{h} ,y_{h} \right) = \left(-1,\; 6\right)$

Piirto-ohjelmassa GeoGebra on myös erikoispisteet toiminto. Klikkaamalla kyseistä painiketta saadaan pikaisesti haettua jonkin funktion nollakohtia, ääriarvopisteitä tai leikkauspisteitä.

Lopputulos näyttää tältä:

Toisen asteen funktiolla voidaan usein mallintaa joitakin realimaailman probleemoita. Seuraavassa esimerkissä tutustutaan, miten mallintaminen toimii.

Esimerkki 4.

Hevostilanpitäjä suunnitteli pientä suorakulmion muotoista maneesia hevosille. Hänellä oli käytettävänään $160$ metriä maneesielementtejä. Käytä apunasi piirto-ohjelmaa ja tutki: Miten maneesin mitat tulisi valita, jotta maneesi olisi pinta-alaltaan mahdollisimman suuri?

(CC-BY, PIXABAY)

Ratkaisu:

Mallinnetaan tilanne ja piirretään kuva:

Kuvan suorakaiteen sivut lasketaan yhteen. Sen piiriksi saadaan $x+x+y+y=2x+2y$ .

Aitaa tämän piirin muodostamiseen on käytettävissä $160$ metriä. Tästä saadaan yhtälö:

$2x + 2y = 160$ || $:2$

$x+y=80$ || $-x$

$y = 80 - x$ .

Kun $y$ :n lauseke sijoitetaan $y$ :n tilalle kuvaan, saadaan uusi mallikuva $x$ :n suhteen ilmaistuna.

Jotta suorakulmiolla olisi pinta-ala, täytyy sivun pituuden $x>0$ ja sivun pituuden $80-x>0$ eli $80-x>0 \quad \|+x$

$80>x$ .

Yhdistämällä nämä ehdot saadaan $0 < x < 80$ .

Suorakulmion pinta-ala saadaan laskettua, kun kerrotaan sivujen pituudet keskenään. Nyt voidaan muodostaa maneesille pinta-alan lauseke: $A(x) = x \cdot y$ = $x\cdot \left(80 - x\right)$ $=- x^{2} +80x$

Tutkitaan muodostetun lausekkeen arvoja esimerkiksi GeoGebralla:

Funktion huipuksi saadaan $(40, 1600)$ GeoGebran ääriarvotoiminnolla. Tällöin toinen sivu on $40$ m ja toiseksi sivuksi tulee $80 - 40 = 40$ metriä.

(Sijoittamalla sivun mitta $40$ pinta-alafunktioon: $A(40)= - 40^{2}+80 \cdot 40 = 1600$ saadaan maneesin pinta-alaksi $1600$ m².)

Vastaus: Maneesi on pinta-alaltaan mahdollisimman suuri, kun valitaan erisuuntaiset sivut $40$ m ja $40$ m pitkiksi. (Silloin maneesin pinta-ala on $1600$ m².)

Viimeksi muutettu: lauantai 2. toukokuu 2020, 12.42

MAA2_oppikirjattomuushanke

Sisältö

Teoreema

Teoreema

INTRO-muistipelin tarkastelua

Toisen asteen polynomifunktio

Esimerkki 1.

Paraabelin nollakohdat

Paraabelin huippu

Esimerkki 2.

Esimerkki 3.