Teoreema

Korkeamman asteen yhtälö ja epäyhtälö

Korkeamman asteen yhtälö on yhtälö, jonka asteluku on vähintään 3.

Siten esimerkiksi x³ + 2x² = 0 ja 3x⁴ = 5x

ovat korkeamman asteen yhtälöitä.

Tavallisin tapa ratkaista korkeamman asteen yhtälö on käyttää tulon nollasääntöä:

Tulo on nolla, jos ja vain jos jokin tulon tekijä on nolla.

Jos ja vain jos tarkoittaa, että päättelyn voi tehdä molempiin suuntiin. Yhtälöä ratkaistaessa käytetään päättelyä vasemmalta oikealle:

Tulo on nolla, vain jos jokin tulon tekijä on nolla.

Jos yhtälön vasen puoli ei ole valmiiksi tulomuodossa, saamme sen usein tulomuotoon ottamalla yhteinen tekijä ( ks. edellinen kpl 13)

Esimerkki 1.

Ratkaise yhtälö x³ – 2x² = 0

Ratkaisu:

x³ – 2x² = 0

x² (x – 2) = 0

x² = 0 tai x – 2 =0

x = 0 tai x = 2

Vastaus: x = 0 tai x = 2

Esimerkki 2.

Ratkaise yhtälö -x ³ + 2x² + 3x = 0

Ratkaisu:

-x ³ + 2x² + 3x = 0

x(-x² + 2x + 3) = 0

x = 0 tai -x² + 2x + 3 = 0

x = 0 tai x = 3 tai x = -1 (ratkaisukaavalla)

Vastaus: x = 0 tai x = 3 tai x = -1 

Esimerkki 3. 

Ratkaise yhtälö -2x⁴ = 8x²

Ratkaisu:

-2x⁴ = 8x²

-2x⁴ - 8x² = 0

-2x² (x² + 4) = 0

-x² = 0 tai x² + 4 = 0

x² = 0 tai x² = -4 ( ei ratkaisua)

Vastaus: x = 0

Jos emme voi ottaa yhteistä tekijää, saattaa edellisessä kappaleessa opittu ryhmittely auttaa tulomuotoon saamisessa.

Esimerkki 4.

Ratkaise yhtälö

2x³+ 5x² +4x + 10 = 0

Ratkaisu:

2x³+ 5x² + 4x + 10 = 0 ryhmittely

x² (2x + 5) +2(2x +5) = 0

(2x+5)(x² + 5) =0

2x+5 = 0 tai x² + 5 = 0

𝑥 = − 5/2 ( jälkimmäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja)

Vastaus: 

Korkeamman asteen epäyhtälö

1) Saatetaan aluksi muotoon, jossa vasen puoli on polynomi ja oikea puoli nolla.

2) Jaetaan vasen puoli tekijöihin, jolloin saadaan polynomin nollakohdat

3) Laaditaan vasemman puolen merkkikaavio

Huomataan, että vaiheet 1 ja 2 ovat vastaavan yhtälön ratkaisuvaiheet. Epäyhtälössä on siis vain yksi vaihe lisää eli merkkikaavio verrattuna vastaavan yhtälön ratkaisuun.

Esimerkki 5.

Ratkaise 2x³+ 5x² +4x + 10 < 0

Ratkaisu : Esimerkin 4 perusteella

(2x+5)(x² + 5) < 0

ainoa nollakohta on

Merkkikaavio:

Vastaus: (2x+5)(x² + 5) < 0 ,kun