Rationaalilauseke on muotoa

\textcolor{#000000}{\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}

 missä P ja Q ovat polynomeja. Siten esimerkiksi

\textcolor{#000000}{\frac{x^2+1}{3x}}{,}\ \ \ \frac{x+4}{x-1}\ ja\ \ \ 2\ +\frac{4}{x^2+5}\

ovat rationaalilausekkeita.

Nimittäjä voi olla myös Q(x)=1, joten myös polynomit ovat  rationaalilausekkeita.

Rationaalilauseke  voi sieventyä supistamalla tekijöitä, esimerkiksi

\textcolor{#000000}{\frac{x^2-1}{x+1}}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x+1}\ =x-1

tai

\textcolor{#000000}{\frac{x^2-2x}{x}}=\frac{x\left(x-2\right)}{x}\ =x-2

Rationaalilausekkeiden laskutoimitukset:

1) yhteenlaskussa on yhteenlaskettavilla oltava sama nimittäjä. Samoin myös vähennyslaskussa. Esimerkiksi

\textcolor{#000000}{\frac{x^{ }-2}{2}}+\frac{x-1}{4}=\frac{2\left(x-2\right)}{4}+\frac{x-1}{4}=\frac{2x-4+x-1}{4}=\frac{3x-5}{4}

2) kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät kerrotaan keskenään. Esimerkiksi

\textcolor{#000000}{\frac{x^{ }-1}{2}}\cdot\frac{x}{4}=\frac{\left(x-1\right)x}{8}=\frac{x^2-x}{8}

3) jakolaskussa jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Esimerkiksi

\textcolor{#000000}{\frac{x^{ }-1}{2}}:\frac{x}{4}=\frac{\left(x-1\right)}{4}\cdot\frac{4}{x}=\frac{x-1}{x}

Huomaa, että tässä ei voida supistaa enää x:llä, koska x ei ole tekijä.

Funktiossa on olennaista, että x  ajatellaan muuttujaksi eli kirjaimen x paikalle voidaan sijoittaa eri lukuja. 

Rationaalifunktio on siten rationaalilauseke (jossa x ajatellaan muuttujaksi).

Esimerkiksi

\textcolor{#000000}{f\left(x\right)=\frac{x^{ }+3}{x+2}}

on rationaalifunktio, mitä korostetaan usein  käyttämällä merkintää f(x).

Rationaalifunktion kuvaaja voi olla erikoisempi kuin polynomifunktion kuvaaja.

Esimerkiksi funktion

\textcolor{#000000}{f\left(x\right)=\frac{x^{^2}+2}{x+1}}

kuvaaja on

Huomioitavaa on, että kuvaaja "katkeaa", kun x = -1. Tämä on nimittäjän nollakohta ja syy "katkeamiseen" on, että nimittäjä ei saa olla = 0. Siis funktio ei ole määritetelty  kohdassa x = -1.

Esimerkki. Alla näet funktion

f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x-a}

kuvaajan, missä aluksi a = 1. Vaihda a:n arvoa liikusäätimellä ja tutki kuvaajan muuttumista.


1) Mitä huomaat nollakohdista?

2) Miten kuvaaja muuttuu, kun a = 2 tai a = - 2?

 

Viimeksi muutettu: maanantai 25. toukokuu 2020, 09.58