Teoreema: Korkeamman asteen polynomifunktiot

Korkeamman asteen polynomifunktio on muotoa

f(x) =a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+...+a₁x+a_0,

missä a_n ei ole nolla ja n on vähintään 3.

Esimerkiksi
g(x)=x⁴+15x³−1 on neljännen asteen polynomifunktio ja 

$\mathrm{f(x)\; =\; 2x⁵\; +\; 1\; on\; viidennen\; asteen\; polynomifunktio.<span><br></span>}$

Alla näet 3. asteen polynomin  f(x) = x³ + ax kuvaajan. Tarkastele,  miten a:n arvon vaihteleminen vaikuttaa funktion f(x) nollakohtien määrään.

Huomaat, että yhtälöllä x³ + ax = 0 on kolme ratkaisua, jos a < 0.

Mitkä ovat ratkaisut, jos a = -4?

Yleisesti:

3. asteen polynomilla on korkeintaan kolme nollakohtaa ts.

 3. asteen yhtälöllä on korkeintaan kolme ratkaisua.

-----------------------------------------------------------------------

Alla näet 3. asteen polynomin  f(x) = ax³ + bx .

Tarkastele,  miten a:n ja b:n arvon vaihteleminen vaikuttavat kuvaajaan. Millä a:n ja b:n arvoilla yhtälön ax³ + bx = 0 ratkaisut ovat 2 ja -2 ?

-----------------------------------------------------------------------------

Alla näet 4. asteen polynomin  f(x) = ax⁴ +bx³ +cx² + d  kuvaajan. Montako nollakohtaa funktiolla on? Tutki vaihtelemalla vakioiden a, b, c ja d arvoja.

Havaitaan, että ilmeisesti

4. asteen polynomilla on korkeintaan neljä  nollakohtaa

Yleisesti:

n. asteen polynomilla on korkeintaan n  nollakohtaa

 n. asteen yhtälöllä on korkeintaan n  ratkaisua.