MAA2_2020: Teoreema

Teoreema

Yhteinen tekijä

Polynomi tai yhtälö voidaan esittää tekijämuodossa, jos kaikista termeistä löytyy yhteisiä tekijöitä. Polynomin tekijöihin jakamisen ideana on, että alkuperäinen polynomi kirjoitetaan alempiasteisten polynomien tulona. Edellisessä Jäätelömansikka-introtehtävässä etsittiin yhteiset tekijät. Yhteisen tekijänjaon ideana on, että kustakin termistä otetaan suurin yhteinen tekijä ja esitetään lauseke tulomuodossa. Tämä toimenpide helpottaa lausekkeiden sieventämistä ja mahdollisten nollakohtien laskemista.

Esimerkki 1: Polynomin tekijät

Mitkä ovat seuraavien polynomien tekijät?

a) $12zx^{3} + 4z^{2} x$

Ratkaisu:

$12zx^{3} + 4z^{2} x$ = || Etsitään suurin luku mikä on molemmissa termeissä ja vastaavasti korkeimmat potenssit muuttujien $z$ ja $x$ suhteen.

$4zx\cdot \left(3x^{2} + z\right)$ || Kun tämä kerrotaan auki niin saadaan alkuperäinen lauseke.

b) $15a^{6} bc^{2} - 3a^{4} b^{2} c^{3} + 9a^{5} b^{3} c$

$15a^{6} bc^{2} - 3a^{4} b^{2} c^{3} + 9a^{5} b^{3} c$ =

Suurin termi, joka on kaikissa kolmessa termeissä on: $3a^{4} bc$

$3a^{4} bc\cdot \left(5a^{2} c - bc^{2} + 3ab^{2} \right)$ c) $18a^{2} b^{3} - 3ab^{2} c$ $18a^{2} b^{3} -3ab^{2} c$ = Suurin termi, joka on molemmissa termeissä on: $3ab^{2}$ , joten: $3ab^{2} \cdot \left(6ab - c\right)$

Toisen asteen polynomifunktion jakaminen tekijöihin

Vaillinainen toisen asteen polynomifunktio, josta puuttuu 1. asteen termi tai vakiotermi, voidaan jakaa tekijöihin joko tulon nollasäännön tai summan ja erotuksen tulon kaavoilla. Näihin asioihin tutustuttiin jo luvussa 2.1, voit käydä tarvittaessa kertaamassa asiaa.

Muotoa $p(x) = ax^{2} +bx$ oleva vaillinaisen toisen asteen polynomifunktio jaetaan tekijöihin: $p(x)=x\left(ax+b\right)$ .
Muotoa $p(x) = x^2 - d^2$ jaetaan tekijöihin seuraavasti $p(x)=(x - d)(x + d)$

Täydellinen toisen asteen polynomifunktio $p(x) = ax^2 + bx + c$ voidaan jakaa tekijöihin nollakohtien avulla. Kun polynomifunktiolle tehdään tekijöihinjako, niin se merkitään ensin toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ muotoon, josta selvitetään sen nollakohdat. Seuraavassa teorialaatikossa on lyhyesti esitetty toisen asteen yhtälön tekijöihin jakaminen. Huomioi, miten nollakohtien lukumäärä vaikuttaa tekijöihin jakoon.

Yhtälön $ax^{2} +bx+c=0$ tekijöihin jakaminen nollakohtien avulla.

Nollakohtien lukumäärä:

2 nollakohtaa: Jos ${x_1}$ ja ${x_2}$ ovat yhtälön $ax^{2} +bx+c=0$ nollakohtia, niin $a x^2 + b x + c$ = $a(x - x_1)(x - x_2)$ , missä $a$ on $x^2$ :n termin kerroin.
1 nollakohta eli kaksoisnollakohta: Jos ${x_1}$ on yhtälön $ax^{2} +bx+c=0$ nollakohta, niin $a x^2 + b x + c$ = $a(x - x_1)^2$ , missä $a$ on $x^2$ :n termin kerroin.
0 reaalista nollakohtaa: Yhtälöä ei voida jakaa tekijöihin reaalilukujen joukossa.

Paraabelin yhtälö $p(x) = ax^2 + bx + c$ voidaan siis nollakohtien avulla kirjoittaa polynomifunktion tekijä- tai nollakohtamuotoon $p(x) =$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Tässä tekijöihin jaossa pitää erityisesti muistaa siirtää yhtälön korkeimman asteen termin kerroin $a$ lausekkeen $(x - x_1)(x - x_2)$ eteen. Seuraavassa esimerkissä käydään läpi, miten vaillinainen ja täydellinen paraabelin yhtälö jaetaan tekijöihin.

Esimerkki 2: Paraabelin tekijöihin jako

Jaa tekijöihin polynomifunktiot ja määritä myös niiden nollakohdat:

a) $p(x) = 3x^2 + 6x$

Ratkaisu:

Merkitään $3x^2 + 6x = 0$ , otetaan yhteinen tekijä

$3x(x + 2)=0$ || Tulon nollasäännön perusteella.

$3x = 0$ tai $x + 2 = 0$

Joten $x = 0$ tai $x = -2$

Kun merkitään ${x_1}$ $= 0$ ja ${x_2}$ $= -2$ ja $a = 3$ , niin sijoitetaan polynomifunktion tekijämuotoon $p(x) =$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Saamme: $p(x) =$ $3(x - 0)(x - (-2))$

Vastaus: ${x_1}$ $= 0$ tai ${x_2}$ $= -2$ ja $= 0$ $p(x) = 3x(x + 2)$

b) $p(x) = 4x^2 -25$

Ratkaisu:

Merkitään $4x^2 -25=0$ , joten summan ja erotuksen kaavalla:

$4x^2 -25=(2x+5)(2x-5)=0$ || Tulon nollasäännön perusteella.

$2x+5=0$ tai $2x-5=0$

$x=- \frac{5}{2}$ tai $x = \frac{5}{2}$

Vastaus: Polynomifunktion tekijöihin jako saadaan suoraan toiselta riviltä $p(x)=(2x+5)(2x-5)$ ja sen nollakohdat ovat $x=- \frac{5}{2}$ tai $x = \frac{5}{2}$

Seuraavassa laskinvinkkikohdassa esitellään, miten CAS-laskimella polynomi jaetaan tekijöihin.

Laskinvinkkejä

Tekijöihin jako voidaan tehdä usein laskimen factor-toiminnolla.

Casio Classpad:ssa valitaan menusta: Action, Transformation, Factor ja Factor. Toinen vaihtoehto on kirjoittaa suoraan laskin tilassa: factor(...).

TI-Npire:ssä valitaan Algebravalikosta: Tekijä / Factor. GeoGebra-CAS laskimella kirjoitetaan operoitavalle riville: Tekijät( <Polynomi> ) tai kun polynomi/lauseke on kirjoitettu, niin painastaan komentopainiketta: Jaa tekijöihin.

GeoGebra-CAS:ssa kirjoitetaan operoitavalla rivillä: JaaTekijöihin(...) tai kirjoitetaan ensin lauseke ja painastaan tekijöihinjoko-komentopainiketta.

Kahdessa seuraavassa (2a ja2c) esimerkissä tarkastellaan polynomifunktioiden tekijöihinjakoa teknisten apuvälineiden avulla. 2a esimerkissä on mukana myös videot, joiden avulla voidaan tutustua eri laskinten käyttöön.

Esimerkki 2a teknisillä apuvälineillä

Jaa tekijöihin polynomifunktio $p(x) = 3x^2 + 6x$ ja määritä myös sen nollakohdat:

GeoGebra-CAS -polku

Kirjoitetaan polynomifunktio $p(x) = 3x^2 + 6x$ GeoGebra-CAS tilassa ja valitaan komentopainike: Jaa tekijöihin, joka on ympyröity seuraavassa kuvassa punaisella. Nollakohdat voidaan ratkaista ratkaise-näppäimellä (x=).

Vastaus: Saamme siis polynomifunktion jaettua tekijöihin seuraavasti: $p(x) = 3x(x + 2)$ . Nollakohdat ovat: $x=0$ tai $x=-2$

Katso GeoGebra-ratkaisuvideo

Casio:

Sovelletaan laskimen factor-toimintoa:

Saamme:

Nollakohdat saadaan käyttämällä solve-toimintoa:

Nollakohdat ovat $x=0$ tai $x=-2$ .

Sijoitus tulee kuitenkin laittaa näkyville vaikka yhtälön nollakohdat ratkaistaankin teknisillä apuvälineillä.

Vastaus: Polynomifunktio saadaan siis jaettua tekijöihin seuraavasti: $p(x) = 3x(x + 2)$ ja sen nollakohdat ovat: $x=0$ tai $x=-2$ .

TI-polku:

Sovelletaan laskimen factor- ja solve- toimintoa:

Saamme:

Nollakohdat ovat $x=0$ tai $x=-2$ .

Sijoitus tulee kuitenkin laittaa näkyville vaikka yhtälön nollakohdat ratkaistaankin teknisillä apuvälineillä.

Vastaus: Polynomifunktio saadaan siis jaettua tekijöihin seuraavasti: $p(x) = 3x(x + 2)$ ja sen nollakohdat ovat: $x=0$ tai $x=-2$ .

Seuravassa esimerkissä kolmiterminen lauseke eli trinomi jaetaan tekijöihin.

Esimerkki 3: Trinomi tekijöihin

Jaa tekijöihin trinomi $yx^{2} - 6xy + 9y$

Ratkaisu:

$yx^{2} - 6xy + 9y=$ || Otetaan $y$ yhteiseksi tekijäksi.

$y\left(x^{2} - 6x + 9\right)$ Huomaa, että sulkulauseke on erään binomin neliö!

Tässä voi myös soveltaa tulon nollasääntöä:

$y = 0$ tai $x^{2} - 6x + 9=0$

Merkitään $x^{2} - 6x + 9=0$

$x =\frac{6\pm \sqrt{6^{2} -4 \cdot 1 \cdot 9} }{2 \cdot 1} =$ $\frac{6\pm \sqrt{0} }{2} =\frac{6}{2} , jolloin$

$x=3$ || Mikä on em. lausekkkeen kaksoisjuuri.

Siis $x^{2} - 6x + 9=(x-3)^2$

Nyt siis $yx^{2} - 6xy + 9y$ $=y(x-3)^2$

Vastaus: Trinomi saadaan tekijöihin jaettuna muotoon $y\left(x - 3\right)^{2}$ .

Seuraavassa esimerkissä jaetaan toista astetta oleva lauseke tekijöihin.

Esimerkki 4: Tekijöihinjako

Jaa tekijöihin lauseke $2x^{2} +2x-4$

Ratkaisu:

Merkitään $2x^{2} +2x-4=0$ || Yhtälön eri asteisten termien edestä saamme kertoimet $a = 2$ , $b = 2$ ja $c = -4$ . Sijoitetaan nämä arvot toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan:

$x =\frac{-2\pm \sqrt{2^{2} -4\cdot 2\cdot \left(-4\right)} }{2\cdot 2}$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{36} }{4} =\frac{-2\pm 6}{4}$ , josta

$x=\frac{-2 - 6}{4}$ tai $x=\frac{-2+ 6}{4}$

Eli $x =-2$ ja $x =1$

Kun indeksoidaan saadut reaalijuuret, niin $x_{1} =-2$ ja $x_{2} =1$ . Alkuperäisestä lausekkeesta saamme $a = 2$ .

Sovelletaan nyt toisen asteen yhtälön tekijöihinjakoa $a x^2 + b x + c$ = $a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Vastaus: Tekijöihin jaettuna $2x^{2} +2x-4 = 2\left(x+2\right)\left(x-1\right)$

Tekijälause

Edellä opeteltiin jakamaan toisen asteen yhtälö ja polynomifunktio tekijöihin. Idea tekijöihin jaosta voidaan yleistää tekijälausessa. On tärkeää havaita, miten nollakohdat ja tekijät liittyvät toisiinsa. Polynomin tekijälause voidaan yleistää kaiken asteisille polynomeille. Tässä luvussa kuitenkin keskitytään toisen asteen polynomeihin.

Polynomin tekijälause: jos binomi $(x - t)$ on polynomin $p(x)$ tekijä, niin $p(t) = 0$ . Siis $t$ on polynomin $p(x)$ nollakohta.

Esimerkki 5: Polynomifunktion tekijä

Määritä parametri $a$ siten, että polynomifunktion $p(x) = ax^{2} - 2x - 24$ tekijä on $(x + 3)$ .

Esitä polynomifunktio $p(x)$ tekijämuodossa.

Ratkaisu:

Nyt $(x + 3)$ jakaa polynomifunktion $p(x) = ax^2 - 2x -24$

Siis $x = -3$ on eräs nollakohta eli $p(-3) = 0$ .

Sitten merkitään $p\left(x\right) = ax^{2} - 2x - 24$

$p\left(-3\right) = 9a + 6 - 24 = 9a - 18 = 0$

Josta $a = 2$

Nyt $p\left(x\right) = 2x^{2} - 2x - 24$ Merkitään $2x^{2} - 2x - 24 = 0$ , jolloin

$x = \frac{ 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-24) } }{2 \cdot 2}$ $= \frac{2\pm 14}{4}$ , josta $x= \frac{2 - 14}{4} =-3$ tai $x= \frac{2 + 14}{4} =4$