MAA2_2020: Teoreema

Teoreema

Edellisen introtehtävän sovelmasta saatoit huomata, että paraabelilla ja suoralla oli joko yksi, kaksi tai ei yhtään leikkauspistettä. Algebrallisesti tällaisia ongelmia ratkaistaan merkitsemällä paraabelin ja suoran yhtälöt yhtä suuriksi. Jos termit operoidaan toiselle puolelle yhtälöä, voidaan yhtälö tämän jälkeen ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Aina ei kuitenkaan ole välttämätöntä tietää, mikä ratkaisu on vaan kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on. Tällöin riittää ratkaista toisen asteen yhtälöstä diskriminantti.

Diskriminantti

Edellisessä luvussa tarkasteltiin toisen asteen yhtälön ratkaisua. Täydellisen toisen asteen yhtälön $ax^{2} +bx+c=0$ ratkaisukaava on $x= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a}$ . Tässä kaavassa neliöjuuren alla olevaa osaa kutsutaan diskriminantiksi.

Diskriminantti on $D=b^{2} -4ac$ .

Esimerkki 1: Diskriminantin laskeminen

Laske diskriminantti funktiolle $f(x)=2x^2+x$ .

Ratkaisu:

Funktion $f$ lausekkeessa $a=2, b=1$ ja $c=0$ .

Sijoitetaan nämä arvot diskriminantin kaavaan $D=b^{2} -4ac$ :

$D=1^2-4 \cdot 2 \cdot 0=1$

Vastaus: Diskriminantti on 1

Diskriminantin arvon avulla voidaan päätellä toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä. Seuraavassa pohdintatehtävässä voit tutkia diskriminantin arvon ja juurten lukumäärän välistä yhteyttä.

Esimerkki 2. Diskriminantin tutkiminen

Säädä funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ parametrien $a, b, c$ arvoja ja tutki alla olevan GeoGebra-sovelman avulla, kuinka monta reaalista nollakohtaa on funktiolla $f$ , kun

a) diskriminantti on positiivinen?

b) diskriminantti on nolla?

c) diskriminantti on negatiivinen?

Esimerkki 2. mukaan voidaan huomata, että funktiolla on kaksi reaalista nollakohtaa diskriminantin ollessa positiivinen. Yksi reaalinen nollakohta, kun diskriminantti on nolla. Ei yhtään reaalista nollakohtaa, kun diskriminantti on negatiivinen.

Toisen asteen yhtälöllä $ax^{2} + bx + c = 0$ on

$2$ reaalista ratkaisua, jos $D>0$ .

$1$ reaalinen ratkaisu, jos $D=0$ .

$0$ reaalista ratkaisua, jos $D<0$ .

Tämä johtuu siitä , että toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa $x= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a}$ . Kun diskriminantti on nolla, niin toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta jää jäljelle $x= \frac{-b\pm \sqrt{0} }{2a}=\frac{-b}{2a}$ eli ratkaisuna tasan yksi arvo. Tämä tarkoittaa, että funktio sivuaa $x$ -akselia eli sillä on yksi yhteinen piste $x$ -akselin kanssa. Tätä juurta kutsutaan kaksoisjuureksi. Kun diskriminantti on negatiivinen, ei sen päällä olevaa neliöjuurta ole määritelty reaalilukujen joukossa. Tällöin toisen asteen yhtälöllä ei ole ratkaisua eli funktiolla ei ole nollakohtaa. Kun diskriminantti on positiivinen, on neliöjuuri määritelty ja ratkaisuja saadaan kaksi neliöjuuren edessä olevan $\pm$ -merkin vuoksi. Tällöin funktiolla on siis kaksi nollakohtaa.

Esimerkki 3: Nollakohtien lukumäärä

Määritä vakio $k$ siten, että funktiolla $f(x) = x^2 + kx +9$ on täsmälleen yksi nollakohta.

Ratkaisu:

Tutkitaan, milloin funktio $f$ saa arvon nolla eli

$x^2 + kx + 9 = 0$ .

Nyt $a=1, b=k$ ja $c=9$

Toisen asteen funktiolla on täsmälleen yksi nollakohta, kun diskriminantti on nolla.

Sijoittamalla kertoimien arvot diskriminantin kaavaan $D=b^2-4ac$ saadaan

$k^2-4 \cdot 1 \cdot 9=0$

$k^{2} -36=0 \ \ \ ||+36$

$k^{2} =36\ \ \ ||\sqrt{}$

$k=\pm 6$ .

Funktiolla $f(x)$ on täsmälleen yksi ratkaisu, kun $k= -6$ tai $k= 6$ .

Vastaus: Funktiolla $f(x)$ on täsmälleen yksi nollakohta, kun $k= -6$ tai $k= 6$

Reaalisten nollakohtien lukumäärän lisäksi diskriminantin avulla voidaan selvittää, onko paraabelilla ja suoralla yhteisiä pisteitä ja jos on niin kuinka monta. Tämä tehdään merkitsemällä paraabelin ja suoran funktion lausekkeet yhtä suuriksi. Tämän jälkeen operoidaan kaikki termit yhdelle puolelle yhtälöä. Tälle puolelle yhtälöä muodostuu uusi toisen asteen funktion lauseke, jonka nollakohtien lukumäärää voidaan tutkia. Näiden nollakohtien lukumäärä on sama kuin alkuperäisen paraabelin ja suoran leikkauspisteiden lukumäärä.

Esimerkki 4: Suoran ja paraabelin sivuamispiste

a) Onko paraabelilla $f(x) = -x^2 +6x -13$ ja suoralla $y = -2x + 3$ yhteisiä pisteitä?

Ratkaisu:

Merkitään paraabelin ja suoran yhtälö yhtä suureksi ja operoidaan kaikki termit yhdelle puolelle yhtälöä:

$-x^2 +6x -13=-2x+3 \ \ \ ||+2x$

$-x^2 +8x -13=+3 \ \ \ ||-3$

$-x^2 +8x -16=0$

Tutkitaan paraabelin $g(x)=-x^2+8x-16$ nollakohtien lukumäärää:

Nyt $a=-1, b=8$ ja $c=-16$ .

Sijoitetaan nämä arvot diskriminantin kaavaan: $D=b^2-4ac$

$D=8^2-4 \cdot (-1) \cdot (-16)=64-64=0$ .

Diskriminantti on nolla, joten paraabelilla $f(x) = -x^2 +6x -13$ ja suoralla $y = -2x + 3$ on yksi yhteinen piste.

Vastaus: Paraabelilla $f(x) = -x^2 +6x -13$ ja suoralla $y = -2x + 3$ on yksi yhteinen piste

b) Mikä on annetun paraabelin ja suoran yhteinen piste?

Ratkaisu:

Selvitetään a)-kohdassa saadun funktion $g(x)=-x^2+8x-16$ nollakohta toisen asteen ratkaisukaavalla $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

a)-kohdassa ratkaistiin jo diskriminantti, joten sen arvo nolla voidaan sijoittaa suoraan neliöjuuren alle:

$x=\frac{-8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot (-1)}=\frac{-8}{-2}=4$ .

Sijoitetaan tämä kohta $x=4$ esimerkiksi suoran yhtälöön $y = -2x + 3$ (voi myös sijoittaa paraabelin funktioon), jotta saadaan selville leikkauspisteen $y$ -koordinaatti:

$y = -2 \cdot 4 + 3=-8+3=-5$

Vastaus: Leikkauspiste on piste $(4,-5)$

Edellisessä esimerkissä voitiin havaita, että toisen asteen yhtälöllä $-x^2 +8x -16=0$ oli vain yksi ratkaisu. Kun piirrämme funktion $g(x)= -x^2 +8x -16$ , niin se sivuaa $x$ -akselia.

Diskriminanttiin liittyvien tehtävien ratkaisemisessa on usein ensiarvoisen tärkeää, että osaat ratkaista ensimmäisen asteen epäyhtälön.

Esimerkki 5: Kaksi leikkauspistettä

Määritä parametri $n$ niin, että paraabelilla $f\left(x\right) = x^{2} + 3x + 2$ ja suoralla $g\left(x\right) = x + n$ on kaksi leikkauspistettä.

Ratkaisu:

Merkitään funktiot yhtä suuriksi: $f(x) = g\left(x\right)$

$x^{2} + 3x + 2 = x + n \ \ \ ||-x$

$x^{2} + 2x + 2 = n \ \ \ ||-n$

$x^{2} + 2x + 2 - n = 0$

Tutkitaan tämän uuden funktion $h(x)=x^2+2x+2-n$ nollakohtien lukumäärää diskriminantin $D=b^2-4ac$ avulla.

Nyt $a=1$ , $b=2$ ja $c=2-n$ . Sijoitetaan nämä arvot diskriminantin kaavaan:

$D=2^2-4 \cdot 1 \cdot (2-n)=4-4(2-n)=4-8+4n=-4+4n$ .

Koska leikkauspisteitä halutaan olevan kaksi, täytyy diskriminantin olla positiivinen. Tästä saadaan epäyhtälö:

$-4+4n>0 \ \ \ ||+4$

$4n>4 \ \ \ ||:4$

$n>1$

Vastaus: $n>1$

Lukion oppimäärään kuuluu juurten tarkastelu reaalilukujen joukossa. Alla on lisätietoa juurten laskemisesta reaalilukuja suuremmassa lukujoukossa - Tätä lukujoukkoa kutsutaan kompleksilukujen joukoksi $\mathbb{C}$ .

Imaginääriset juuret

Kun $D<0$ , niin toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalisia juuria, mutta sillä on silloin kaksi kompleksilukujen $C$ joukossa olevaa ratkaisua.

Kun luku $x\in C$ , niin määritellään imaginääriyksikkö i, että $i^{2} =-1$ .

Imaginääriyksikön neliö on siis reaaliluku $-1$ . Kun ratkaistaan yhtälöä $x^{2} = -1$ , niin voidaan merkitä $x^{2} =i^{2}$ , josta $x =i$ tai $x =-i$ .

Esimerkki 6: Imaginääriset juuret

Ratkaise $x^{2} +9=0$ .

Ratkaisu:

$a=1, b=0$ ja $c=9$

$x= \frac{-0\pm \sqrt{0^{2} -4\cdot 1\cdot 9} }{2\cdot 1}$ = $\frac{\pm \sqrt{-36} }{2}$ , diskriminantti on nyt negatiivinen.

Imaginääriyksikön $i$ avulla $i^{2} =-1$ , jolloin

$x= \frac{\pm \sqrt{36i^{2} } }{2} =$ $\frac{\pm 6i}{2}$

$x = \pm 3i$ ovat sen kompleksilukujoukon ratkaisut.

Kun piirretään funktion $f\left(x\right) = x^{2} + 9$ kuvaaja, niin sillä ei ole reaalisia nollakohtia, eikä kuvaaja leikkaa $x$ -akselia. Se on $x$ -akselin yläpuolella.

Tässä tarkasteltiin tilannetta, jossa diskriminantti on negatiivinen. Alla on mielenkiintoinen lisätieto paraabelin huipun koordinaattien laskemisesta, jonka perustelussa merkittävää roolia näyttelee diskriminantti

Paraabelin huippu

Tapaus $D=0$

Yhtälöllä $-x^2 +8x -16=0$ on vain yksi ratkaisu eli diskriminantti oli nolla. Kun piirrämme funktion $g(x)= -x^2 +8x -16$ , voidaan havaita, että se sivuaa $x$ -akselia. Sivuamiskohdassa sillä on myös huippukohta. Koska tämä huippukohta on myös funktion nollakohta, saadaan tämä laskettua kaavasta $x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Koska diskriminantti $D=0$ , sievenee tämä kaava muotoon $x=\frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-b}{2a}$ . Paraabelin huippu on siis pisteessä $\left(\frac{-b}{2a},0\right)$ , jos diskriminantti on nolla.

Tapaus $D>0$

Voidaan todeta, paraabelin huippu on nollakohtien puolessa välissä. Jos $x= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a}$ ja diskriminantti on positiivinen, niin nollakohdat ovat

$x_1= \frac{-b + \sqrt{D} }{2a}$ ja $x_2= \frac{-b\ - \sqrt{D} }{2a}$ .

Jos lasketaan näiden keskiarvo, niin saadaan:

$\frac{x_1 + x_2}{2}= \frac { \frac{-b + \sqrt{D} }{2a} + \frac{-b - \sqrt{D} }{2a}}{2}=$ $\frac { \frac{-b + \sqrt{D} -b - \sqrt{D}}{2a} }{2}=$ $\frac { \frac{-2b}{2a} }{2}=$ $\frac { -b}{2a}$

Huippu on siis kohdassa $\frac{-b}{2a}$ .

Tapaus $D<0$

Tätä tapausta voidaan käsitellä tapauksen $D>0$ mukaisesti. Nimittäin paraabelin $p(x)=ax^2 +bx +c$ vakio $c$ vaikuttaa siihen, millä korkeudella paraabelin kuvaaja on. Tämä tarkoittaa sitä, että paraabelin huippulla on sama $x$ -koordinaatti. Seuraava alla oleva kuva selventää tätä paraabelifunktiolle: $p(x)=x^2+3x+c$

$c$ :n arvo voidaan aina säätää siten, että paraabelilla on reaalisia nollakohtia. Tästä voimme päätellä: Jos yhtälöllä $ax^2 +bx +c=0$ $D<0$ , niin paraabelin huipun $x$ -koordinaattia voidaan käsitellä tapauksen $D>0$ mukaisesti.

Paraabelin huipun $x$ -koordinaatti saadaan laskettua seuraavalla tavalla.

Kun $D = 0$ , $x_{h} = \frac {-b}{2a}$ ja	$y_h=0$ .
Kun $D>0$ , $x_{h} = \frac {-b}{2a}$ .	Kun sijoitetaan $x_{h}$ paraabelin alkuperäiseen funktioon, niin saadaan y-koordinaatti $y_{h}$ = $f(x_{h})$ .