MAA2_2020: Teoreema

Teoreema

Johdantotehtävässä tutkittiin alaspäin aukeavan paraabelin nollakohtien määrittämistä piirto-ohjelman avulla. Matematiikan luonteesta johtuen on kuitenkin välttämätöntä opetella laskemaan nollakohtia myös algebrallisesti. Tämän luvun yksi päätema on opetella, miten täydellinen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +bx+c=0$ voidaan ratkaista algebrallisesti. Toisen asteen yhtälö on täydellinen, jos $a \neq 0, \ b \neq 0 \ \text{ja} \ c \ne 0$ . Täydellinen toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla tai jossain tapauksissa täydentämällä neliöksi. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava soveltuu myös vallinaisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen, mutta ne on mielekkäämpää ratkaista joko tulon nollasäännön tai neliöjuuren avulla.

Toisen asteen yhtälön $ax^{2} +bx+c=0$ ratkaisukaava:

$x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava johdetaan videossa, joka löytyy tämän luvun Muu Materiaali osasta. Se on mielenkiintoinen ja vaativa, mutta siihen kannattaa tutustua.

Seuraavissa esimerkeissä harjoitellaan toisen asteen yhtälön ratkaisemista hyödyntäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Esimerkkien avulla opitaan ratkaisemaan ilman teknisiä apuvälineitä toisen asteen polynomifunktion nollakohta ja toisen asteen yhtälön juuret. Teknisillä apuvälineillä täydellistä toisen asteen yhtälöä ratkaistaessa käytetään CAS-laskimen solve() komentoa tai ratkaise-komentopainiketta.

Esimerkki 1: Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen

Ratkaise $x^{2} -7x+6=0$ .

Ratkaisu:

Ratkaistava yhtälö $x^{2} -7x+6=0$ on muotoa $ax^{2} +bx+c=0$ .

Tässä $a = 1$ , $b = -7$ ja $c = 6$ . Sijoitetaan nämä arvot toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan $x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$ :

$x =\frac{7\pm \sqrt{\left(-7\right)^{2} -4\cdot 1\cdot 6} }{2\cdot 1} =\frac{7\pm \sqrt{49 -24} }{2\cdot 1} =$ $\frac{7\pm \sqrt{25} }{2} =\frac{7\pm 5}{2}$

Puretaan +- merkintä kahteen erilliseen lausekkeeseen:

$x=\frac{7\ - 5}{2} =\frac{2}{2}=1$ tai $x=\frac{7\ + 5}{2} =\frac{12}{2}=6$ .

Vastaus: $x =1$ tai $x =6$

Seuraavassa esimerkissä sovelletaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa tehtävään, jossa haetaan parittoman kokonaisluvun neliötä. Pariton luku voidaan konstruoida seuraavasti. Kun mikä tahansa kokonaisluku kerrotaan luvulla kaksi, niin tulo on parillinen. Jos parilliseksi konstruoituun lukuun lisätään luku yksi, saadaan tulokseksi pariton luku.

Esimerkki 2: Parittoman luvun neliö

Eräs opiskelija pohti tehtävää, jossa erään luvun neliö on $121$ . Mikä on tähän ratkaisu? Löydetäänkö tälle tehtävälle useampia ratkaisuja?

Ratkaisu:

Olkoon pariton luku muotoa: $m = 2x+1, x\in Z$ . Nyt $2x$ on varmasti parillinen luku, koska se kerrotaan luvulla kaksi. Kun siihen lisätään luku $1$ , niin saadaan parittoman luvun $m$ .

Nyt tämän luvun neliö on $\left(2x+1\right)^{2} = 121$ .

Käytetään binomin neliön kaavaa yhtälön vasemman puoleisen lausekkeen sulkujen avaamiseen.

$4x^{2} + 4x + 1 = 121 \quad \|-121$

$4x^{2} + 4x - 120 = 0$

Ratkaistaan yhtälö toisen asteen ratkaisukaavalla $x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$ .

Tässä $a = 4$ , $b = 4$ ja $c = -120$ . Nyt sijoitetaan nämä arvot toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan:

$x = \frac{-4\pm \sqrt{4^{2} -4\cdot 4\cdot \left(-120\right)} }{2\cdot 4}$ $=\frac{-4\pm \sqrt{1936} }{8}$ $= \frac{-4\pm 44}{8}$

Eli $x = \frac{-4- 44}{8} =-6$ tai $x = \frac{-4+ 44}{8} =5$

Sijoittamalla saadut $x$ :n arvot alkuperäiseen luvun $m$ lausekkeeseen $m = 2x+1, x\in Z$ , niin saadaan:

$m = 2\cdot 5+1 = 11$ tai $m = 2\cdot \left(-6\right) + 1 = -11$

Vastaus: Kysytyt luvut ovat $-11$ tai $11$ .

Seuraavassa esimerkissä tutkitaan, miten taulukkolaskentaohjelmaa voidaan hyödyntää toisen asteen yhtälön ratkaisemisessa.

Esimerkki 3: Parittoman luvun neliö LibreOfficen Calcilla

Parittoman kokonaisluvun tulo itsensä kanssa on $121$ . Mikä on tämä pariton kokonaisluku?

Ratkaisu:

Listataan parittomia positiivisia ja negatiivisia kokonaislukuja. Lasketaan näiden neliöt kirjoittamalla viereiseen soluun =(valitaan solu, jonka neliö halutaan laskea)^2.

Kopioidaan muodostettu kaava alempiin soluihin esimerkiksi vetämällä solun oikeassa alanurkassa olevasta kahvasta (pieni musta neliö, joka muuttuu ristiksi).

Vastaus: Luvut ovat siis $-11$ tai $11$

Joissakin tapauksissa voi toisen asteen yhtälön ratkaista myös neliöksi täydentämällä ja ratkaisemalla yhtälö neliöjuuren avulla. Kertaa tarvittaessa Binomikaavat lukua ja neliöjuuret lukua, jotta neliöön täydentämisessä ei tulisi ongelmallisia kohtia.

Esimerkki 4: Ratkaise neliöön täydentämällä

Ratkaise täydentämällä neliöön yhtälö

a) $x^{2} + 6x + 5 = 0$

Ratkaisu:

$x^{2} + 6x + 5 = 0$ || $-5$

$x^{2} + 6x =-5$ , Tässä kohtaa mietitään: Mistä binomin neliön alusta on $x^{2} + 6x + ...$ ?

Huomaa, että $x^2+6x= x \cdot x +2\cdot x \cdot 3$ . Siis yhtälön vasen puoli on siis binomin $x + 3$ neliöstä eli $(x + 3)^2=x^2+6x+9$ .

$x^{2} + 6x =-5 \quad \| +9$

$x^{2} + 6x + 9 = 4$

$\left(x + 3\right)^{2} = 4 \quad \| \sqrt{}$

$x + 3 = \pm 2$

$x + 3 = 2 \quad \|-3$ tai $x + 3 = -2 \quad \|-3$

$x= -1$ tai $x = -5$

Vastaus: $x= -1$ tai $x = -5$

b) $x^{2} + 4x + 1 = 0$

Ratkaisu:

$x^{2} + 4x = -1$ || $+4$

$x^{2} + 4x + 4 = 3$

$\left(x + 2\right)^{2} = 3 \quad \| \sqrt{}$

$x + 2 = \pm \sqrt{3}$

$x+2 = \sqrt{3} \quad \|-2$ tai $x + 2 = -\sqrt{3} \quad \|-2$

$x = -2 + \sqrt{3}$ tai $x = -2-\sqrt{3}$

Vastaus: $x = -2 + \sqrt{3}$ tai $x = -2-\sqrt{3}$

Piirto-ohjelman avulla voidaan myös tutkia neliöön täydentämistä. Seuraavassa esimerkissä näytetään, miten neliöön täydentämisinen tehdään piirto-ohjelman avulla.

Esimerkki 5: Ratkaise toisen asteen yhtälö piirto-ohjelman avulla täydennettäessä neliöön

Ratkaise täydentämällä neliöön yhtälö $x^{2} + 6x + 5 = 0$ . Tutki, miten tämä voidaan tehdä piirto-ohjelman avulla.

Ratkaisu:

Merkitään lauseke polynomina $f(x) = x^2 + 6x + c$ ja kirjoitetaan se GeoGebran syöttökenttään.

Luodaan liukusäädin c ja säädetään sen ominaisuuksista liukusäätimen arvoalueeksi $[-5, 15]$ .

Havaitaan, että c:n arvolla 9 paraabelin huippu on $x$ -akselilla, koska silloin sillä on vain yksi nollakohta.

Tämä tarkoittaa sitä, lausekkeessa on binomin neliö $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ , joten

$x^{2} + 6x + 9 = 4$

Täten $\left(x + 3\right)^{2} = 4 \quad \| \sqrt{}$

$x + 3 = \pm 2$

$x + 3 = 2 \quad \| -3$ tai $x + 3 = -2 \quad \|-3$

Vastaus: $x = -1$ tai $x = -5$

Kahdessa edellisessä esimerkissä tarkasteltiin miten binomin kaava oli osa toisen asteen yhtälön ratkaisua. Täydellinen toisen asteen yhtälö voidaan siis joissakin tapauksissa ratkaista ilman toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa neliöön täydentämällä.

Viimeksi muutettu: sunnuntai 15. maaliskuu 2020, 12.10

MAA2_oppikirjattomuushanke

Sisältö

Teoreema

Teoreema

Esimerkki 1: Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen

Esimerkki 2: Parittoman luvun neliö

Esimerkki 3: Parittoman luvun neliö LibreOfficen Calcilla

Esimerkki 4: Ratkaise neliöön täydentämällä

Esimerkki 5: Ratkaise toisen asteen yhtälö piirto-ohjelman avulla täydennettäessä neliöön