MAA2_2020: Teoreema

Teoreema

Introtehtävässä käytetiin CAS-laskinta toisen asteen epäyhtälön ratkaisemisessa. Kuten varmasti huomasit, toimivat samat käskyt CAS-laskimessa toisen asteen epäyhtälöön kuin ensimmäisenkin asteen epäyhtälöön. Tässä luvussa perehdytäänkin erityisesti siihen, miten toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan ilman teknisiä apuvälineitä.

Kun epäyhtälöiden ratkaisuja tutkitaan ilman teknisiä apuvälineitä, käytetään usein merkkikaaviota. Se on työkalu, jolla myöhemmin tutkitaan monimutkaisempiakin funktioita. Merkkikaavion avulla tutkitaan, milloin funktio saa positiivisia tai negatiivisia arvoja. Tärkeintä on oivaltaa, että polynomifunktion arvo vaihtaa merkkiä vain sen nollakohdissa.

Polynomifunktion merkki voi vaihtua vain sen nollakohdissa.

Toisen asteen epäyhtälön merkkisyyttä voidaan tutkia merkkikaavion lisäksi myös funktion kuvaajan tai ominaisuuksien avulla. Seuraavassa teorialaatikossa on algoritmi eli toimintaohje toisen asteen epäyhtälön ratkaisemiseksi.

Toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen:

1. Operoidaan yhtälöä puolittain niin, että kaikki termit saadaan epäyhtälömerkin toiselle puolelle ja toiselle puolelle jää nolla.

2. Ratkaistaan saadun lausekkeen nollakohdat.

3. Tutkitaan, millä välillä epäyhtälö on totta (merkki voi vaihtua vain nollakohdissa). Ratkaisu analysoidaan toisen asteen funktion ominaisuuksien, kuvaajan tai merkkikaavion avulla.

Huomaa: Jos käytät analysoinnissa apuna merkkikaaviota, perustele paraabelin aukeamissuunta! Toisin sanoen, jos $a > 0$ , paraabeli aukeaa ylöspäin. Jos $a < 0$ , paraabeli aukeaa alaspäin. Esimerkissä 1 ratkaistaan toisen asteen epäyhtälö funktion ominaisuuksiin vedoten. Esimerkeissä 2 ja 3 käytetään tulkinnan apuna merkkikaaviota. Voit käyttää näistä mitä tahansa tapaa ratkaistessasi toisen asteen epäyhtälöitä, mutta merkkikaavion käyttöä kannattaa ainakin kokeilla. Tulet nimittäin tarvitsemaan sitä luvussa 3.3.

Esimerkki 1: Toisen asteen epäyhtälö

Ratkaise epäyhtälö $x^{2} - 4x > 0$

Ratkaisu:

Merkitään $f\left(x\right) = x^{2} - 4x$ ja tutkitaan milloin $f(x)=0$ eli $x^{2} - 4x = 0$ .

Otetaan $x$ yhteiseksi tekijäksi: $x\left(x - 4\right) = 0$ .

Tulon nollasäännön perusteella:

$x = 0$ tai $x - 4 = 0 \quad \|+4$

$x = 0$ tai $x = 4$

Nämä nollakohdat ovat ylöspäin aukeavan paraabelin nollakohtia, koska toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Funktio $f$ saa siis positiivisia arvoja muualla kuin nollakohdissaan tai nollakohtien välissä, kuten voidaan nähdä oikealla olevasta mallikuvasta. Epäyhtälö toteutuu siis, kun $x < 0$ tai $x > 4$ .

Vastaus: $x < 0$ tai $x > 4$ eli $x\in \left]-\infty ,0\right[\quad \$ tai $\quad x\in \left]4,\infty \right[$ .

Merkkikaaviota tarvitaan vain, kun tekniset apuvälineet eivät ole käytössä. Tästä syystä se kannattaa opetella tekemään editorin taulukkotyökalulla. Tässä lyhyet ohjeet merkkikaavion laatimiseen.

Merkkikaavion tekeminen toisen asteen polynomifunktiolle:

1. Saata ensin epäyhtälö muotoon, jossa toisella puolella erisuuruusmerkkiä on 0.

2. Laadi taulukko Abittieditorissa (käytä Matrix-toimintoa).

3. Vasempaan reunaan merkitään tutkittavan funktion lauseke, tai sen tekijät allekkain eri riveille.Ensimmäiselle riville merkitään nollakohdat. Jätä kuitenkin yksi tyhjä sarake nollakohdan kummallekin puolelle.

4. Perustele funktion merkkisyys kaikilla taulukkoon merkityillä väleillä joko vetoamalla toisen asteen funktion ominaisuuksiin tai laskemalla funktion arvot testipisteissä saaduilla väleillä.

5. Päättele vastaus merkkikaaviosta.

Tutustutaan ensin merkkikaavion tekemiseen testipisteitä hyödyntäen. Testipisteiden käyttö on funktion ominaisuuksiin vetoamista työläämpää, mutta ei toisaalta vaadi muuta tietoa funktion kulusta kuin nollakohdat. Testipistemenetelmällä saat siis aina laadittua merkkikaavion oli funktio sitten kuinka hurjan näköinen tahansa.

Esimerkki 2: Merkkikaaviota ja testipisteitä hyödyntäen

Ratkaise epäyhtälö

a) $x^{2} - 4x > 0$ .

Ratkaisu:

Tutkitaan, milloin funktio $f(x)=x^2-4x$ saa positiivisia arvoja. Polynomifunktio voi vaihtaa merkkiä ainoastaan nollakohdissa, joten selvitetään ensin funktion $f$ nollakohdat yhtälöstä $x^{2} -4x=0$ .

Jaetaan ensin yhtälö $x^{2} -4x=0$ tekijöihin: $x\left(x - 4\right) =0$ .

Tulon nollasäännön mukaan $x\left(x - 4\right) = 0$ , kun

$x=0$ tai $x-4=0$ $\|+4$

$x=4$

Tehdään merkkikaavio. Kirjataan siihen nollakohdat ja tutkittava funktio.

Editorin taulukkotyökalulla kannattaa pohja tehdä näin:

Nollakohdat		0		4
$f(x)=x^2-4x$		0		4

Valitaan testipisteet väleiltä: $x<0$ , $0<x<4$ ja $x>4$ .

$x<0$ : Valitaan esimerkiksi $x=-1$ , tällöin $f(-1)=(-1)^2-4 \cdot (-1)=1+4=5>0$ . Nollakohdan 0 vasemmanpuoleiseen sarakkeeseen tulee siis plusmerkki.

$0<x<4$ : Valitaan esimerkiksi $x=1$ , tällöin $f(1)=1^2-4 \cdot 1=1-4=-3<0$ . Nollakohtien välissä olevaan sarakkeeseen tulee siis miinusmerkki.

$x>4$ : Valitaan esimerkiksi $x=10$ , tällöin $f(10)=10^2-4 \cdot 10=100-40=60>0$ . Nollakohdan 4 oikeanpuoleiseen sarakkeeseen tulee siis plusmerkki.

Nollakohdat		0		4
$f(x)=x^2-4x$	+	0	-	4	+

Merkkikaaviosta nähdään, että epäyhtälö $x^{2} - 4x > 0$ toteutuu, kun $x < 0$ tai $x > 4$ eli $x\in \left]-\infty ,0\right[\quad \$ tai $\quad x\in \left]4,\infty \right[$ .

Vastaus: $x < 0$ tai $x > 4$ eli $x\in \left]-\infty ,0\right[\quad \$ tai $\quad x\in \left]4,\infty \right[$ .

b) $x^{2} - x + 1\le 9+x$ .

Ratkaisu:

$x^{2} - x + 1\le 9+x \quad \|-x$

$x^{2} - 2x + 1\le 9 \ \ \ \| -9$

$x^{2} - 2x - 8\le 0$

Ratkaistaan epäyhtälön vasemmalle puolelle muodostuneen funktion $f(x)= x^{2} - 2x - 8$ nollakohdat yhtälöstä $\quad x^{2} - 2x - 8 = 0$ toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:

$x =\frac{2\pm \sqrt{2^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-8\right)} }{2\cdot 1}$ $=\frac{2\pm \sqrt{4 +32} }{2} =\frac{2\pm \sqrt{36} }{2}=\frac{2\pm 6 }{2}$

$x = \frac{2 - 6 }{2} =\frac{-4 }{2}=-2$ tai $x = \frac{2 + 6 }{2} = \frac{8 }{2} =4$

Valitaan siis testipisteet väleiltä $x<-2$ , $-2<x<4$ ja $x>4$ .

$x<-2$ : Valitaan esimerkiksi kohta -3. Tällöin $f(-3)= (-3)^{2} - 2\cdot (-3) - 8 =9+6-8=7>0$ .

$-2<x<4$ : Valitaan esimerkiksi kohta 0. Tällöin $f(0)= (0)^{2} - 2\cdot (0) - 8 =-8<0$ .

$x>4$ : Valitaan esimerkiksi kohta 5. Tällöin $f(5)= (5)^{2} - 2\cdot 5 - 8 =25-10-8=7>0$ .

Muodostetaan merkkikaavio saatujen nollakohtien ja testipisteiden avulla:

Nollakohdat		-2		4
$f(x)= x^{2} - 2x - 8$	+	-2	-	4	+

Epäyhtälö $x^{2} - 2x - 8\le 0$ toteutuu siis, kun $-2\leq x \leq 4$ . (Nollakohdat otetaan väliin mukaan, koska epäyhtälö $x^{2} - 2x - 8\le 0$ sallii yhtäsuuruuden nollan kanssa.)

Vastaus: Epäyhtälö $x^{2} - x + 1\le 9+x$ on siis voimassa välillä $-2 \leqslant x \leqslant 4$ eli
$x\in \left[-2, 4\right]$

Seuraavaksi tutustutaan merkkikaavion tekemiseen funktion ominaisuuksiin vedoten. Tällöin ei tarvitse laskea testipisteitä, mikä nopeuttaa ratkaisun laatimista.

Esimerkki 3: Merkkikaaviota ja funktion ominaisuuksia hyödyntäen

Ratkaise epäyhtälö $x^{2} - 7x + 6\le 0$

Ratkaisu:

Ratkaistaan funktion $f(x)=x^2-7x+6$ nollakohdat yhtälöstä $\quad x^{2} - 7x + 6 = 0$ toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:

$x = \frac{7\pm \sqrt{7^{2} -4\cdot 1\cdot 6} }{2\cdot 1} = \frac{7\pm \sqrt{49 -24} }{2} = \frac{7\pm \sqrt{25} }{2}$ $= \frac{7\pm 5 }{2}$

$x = \frac{7 - 5 }{2} = \frac{2}{2}=1$ tai $x = \frac{7 + 5 }{2}= \frac{12}{2}=6$ .

Koska funktion $f$ kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ( $a>0$ ), saa funktio $f$ negatiivisia arvoja nollakohtiensa välissä.

Muodostetaan merkkikaavio:

Nollakohdat		1		6
$f(x)=x^2-7x+6$	+	1	-	6	+

Epäyhtälö $x^{2} - 7x + 6\le 0$ toteutuu siis, kun $1\le x\le 6$ eli $x\in \left[1,6\right]$ .

Vastaus: $1\le x\le 6$ eli $x\in \left[1,6\right]$

Usein määrittelyjoukkoa joudutaan tutkimaan epäyhtälön avulla. Seuraavassa esimerkissä neliöjuuren sisällä oleva lauseke pitäisi olla epänegatiivinen, muuten se ei ole määritelty reaalilukujen joukossa.

Esimerkki 4: Määrittelyjoukko Mf

Milloin lauseke $\sqrt{ - x^{2} + 6x +40}$ on määritelty?

Ratkaisu:

Lauseke on määritelty, kun juurilauseke on epänegatiivinen. Halutaan siis tietää, milloin $- x^{2} + 6x +40 \ge 0$ .

Ratkaistaan funktion $f(x)=- x^{2} + 6x +40$ nollakohdat yhtälöstä $- x^{2} + 6x +40= 0$ toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:

$x =\frac{-6\pm \sqrt{6^{2} -4\cdot \left(-1\right)\cdot 40} }{2\cdot \left(-1\right)} =\frac{-6\pm \sqrt{36+160} }{-2}$ $=\frac{6\pm \sqrt{196} }{2}$

$x =\frac{6 - 14 }{2} =\frac{-8 }{2}=-4$ tai $x =\frac{6 + 14 }{2} =\frac{20 }{2}=10$ .

Funktion $f$ kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ( $a<0$ ), joten

se saa positiivisia arvoja vain nollakohtiensa välissä. Siis lauseke $\sqrt{ - x^{2} + 6x +40}$ on määritelty, kun $-4\leq x \leq 10$ .

Vastaus: Määrittelyjoukko on $x\in \left[-4, 10\right]$

Seuraavassa esimerkissä tutkitaan epäyhtälöä taulukkolaskentaohjelman avulla. Alla olevassa esimerkissä operoidaan positiivisten kokonaislukujen joukossa. Tällaisessa tapauksessa taulukkolaskentaohjelman käyttö on siis turvallista. Jos operoidaan irrationaalilukujen kanssa, taulukkolaskentaohjelmisto antaa vain likiarvoja. Likiarvoilla laskeminen puolestaan ei ole hyväksyttävää pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa, jos tehtävästä puuttuu oikean elämän konteksti tai arvot on annettu tehtävässä tarkkoina arvoina.

Esimerkki 5: Kokonaislukujen tulo LibreOfficella

Minkä kahden positiivisen kokonaisluvun summa on $40$ ja niiden tulo on välillä $[175, 300]$ ? Ratkaise taulukkolaskentaohjelman avulla.

Ratkaisu:

Olkoon luvut $x$ ja $y$ kysytyt positiiviset kokonaisluvut. Tällöin

$x + y = 40 \quad \|-x$

$y = 40 -x$ .

Koska $y>0$ , täytyy myös

$40-x>0 \quad \|-40$

$-x>-40\quad \|\cdot (-1)$

$x<40$ . Toisaalta tiedetään, että $x>0$ . Siis $0<x<40$ .

Tehdään taulukko, jossa simuloidaan tulofunktion $T(x) = x\cdot y$ $=x\cdot \left(40-x\right)$ $=40x - x^{2}$ arvoja sen määrittelyjoukossa $Mf: x\in \left]0, 40\right[$ .

Milloin $175 \leqslant 40x - x^{2} \leqslant 300$ ?

Kehitetään seuraavan mallin mukainen laskentataulukko LibreOfficen Calcissa:

Lataa tästä aloitustiedosto (LO-CALC).

Tutkitaan, milloin lukujen tulo on halutulla välillä $[175, 300]$ .

Havaitaan,

Vastaus: Voidaan siis päätellä, että lukuparit $(5, 35)$ , $(6, 34)$ , $(7, 33)$ , $(8, 32)$ , $(9, 31)$ ja $(10, 30)$ toteuttavat annetun ehdon

Toisen asteen epäyhtälöt ratkeavat samoilla komennoilla CAS-laskimella kuin ensimmäisen asteen epäyhtälöt ja yhtälöt. Tehtävissä, joissa on tekniset apuvälineet käytössä, korostuukin pelkän epäyhtälön ratkaisemisen sijaan matemaattisen mallintamisen rooli. Seuraavassa esimerkissä pääset harjoittelemaan tätä.

Esimerkki 6: Toisen asteen epäyhtälö CAS-laskimella

LÄHDE: PIXABAY (CC0)

Sadasta metristä aitaa tehtiin lampaille suorakaiteen muotoinen aitaus. Miten aitauksen mitat pitää valita, jotta sen pinta-ala olisi välillä 225 m² - 400 m² ?

Ratkaisu:

Merkitään aitauksen yhden sivun pituutta $x$ ja toisen $y$ . Koska aitausta oli käytettävissä 100 m ja aitaus on suorakaiteen muotoinen, saadaan sen piiristä muodostettua yhtälö

$2x+2y=100 \quad \|-2x$

$2y=100-2x \quad \|:2$

$y=50-x$

Koska kyseessä on pituus, täytyy $x>0$ ja $y>0$ eli

$50-x>0 \quad \|+x$

$50>x$ .

Siis $0 < x < 50$ .

Muodostetaan tilanteesta mallikuva:

Nyt saadaan muodostettua pinta-alafunktio $A(x) = x\cdot y$ $=x\cdot \left(50-x\right)$ $=50x - x^{2}$ , jonka määrittelyjoukko on $x\in \left]0, 50\right[$ .

Tehtävänannon mukaisesti $225\le 50x-x^{2} \le 400$ . Ratkaistaan yhtälö CAS-laskimella luvussa 1.1 esitellyllä yhtälönratkaisukomennolla. Tässä esimerkissä on käytetty GeoGebran CAS-laskinta.

Vastaukseksi saadaan: $x\in \left[5,10\right]$ eli $5 \leqslant x \leqslant 10$ tai $x\in \left[40,45\right]$ eli $40\leqslant x \leqslant 45$ . Nämä välit sisältyvät määrittelyjoukkoon $0 < x < 50$ .