MAA2_2020: Teoreema

Teoreema

Tässä luvussa tutustutaan neliöjuureen ja opetellaan ratkaisemaan vaillinainen toisen asteen yhtälö. Introtehtävän ratkaisussa muodostettiin jo vaillinainen toisen asteen yhtälö. Tehtävässä muodostettu toisen asteen yhtälö ratkaistiin CAS-laskimella. Toisen asteen yhtälöitä ja neliöjuuria käytetään usealla matematiikan kurssilla, joten niiden opetteluun kannatta siis panostaa.

Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälöitä hyödynnetään eri tieteen aloilla, muun muassa luonnontieteen, tekniikan ja talouden aloilla. Toisen asteen yhtälöt voidaan luokitella täydellisiin toisen asteen yhtälöihin ja vaillinaisiin toisen asteen yhtälöihin riippuen niissä esiintyvien termien lukumäärästä. Täydellisessä toisen asteen yhtälössä on toisen ja ensimmäisen asteen termi sekä nollasta poikkeava vakiotermi. Vaillinaisessa toisen asteen yhtälössä ei esiinny näitä kolmea termiä yhtäaikaisesti.

Toisen asteen yhtälö on muotoa $ax^{2} +bx+c=0,$ jossa $a \ne 0.$

Jos $a, b, c \ne 0$ , niin kyseessä on täydellinen toisen asteen yhtälö.

Jos $b=0$ tai $c=0$ , tai molemmat ovat nollia, niin kyseessä on vaillinainen toisen asteen yhtälö.

Kun ratkaistaan toisen asteen yhtälöä $ax^{2} +bx+c=0,$ ratkaistaan samalla, millä muuttujan $x$ arvoilla polynomifunktion $P(x)=ax^{2} +bx+c$ arvo on 0. Yhtälön $ax^{2} +bx+c=0$ ratkaisut ovat siis polynomifunktion $P(x)=ax^{2} +bx+c$ nollakohtia. Kappaleessa 2.0 nollakohtia selvitettiin kuvaajien avulla etsimällä funktion kuvaajan ja $x$ -akselin leikkauskohdat. Tällöin myös huomattiin, että koska toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli, sillä on 0, 1 tai 2 reaalista ratkaisua tai nollakohtaa. Tässä luvussa opetellaan ratkaisemaan algebrallisesti vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä. Algebrallisella ratkaisulla saadaan yhtälöiden ratkaisuiksi tarkkoja arvoja. Täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen opetellaan luvussa 2.2.

Neliöjuuri

Neliöjuuri:

$\sqrt{a}=b$ , jos $b^2=a$ ja $b \ge 0.$

$\sqrt{a}$ ei ole määritelty reaalilukujen joukossa, jos $a<0.$

Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt muotoa $ax^{2} +c=0,$ voidaan ratkaista neliöjuuren avulla. Neliöjuuren määritelmän mukaisesti luvun $a$ neliöjuuri on epänegatiivinen luku $b$ , jonka toinen potenssi on luku $a$ . Esimerkiksi $\textcolor{#000000}{\sqrt{4}=2}$ , koska $\textcolor{#000000}{2^2=4}$ ja 2 on positiivinen luku.

Esimerkki 1: Neliöjuuri

Määritetään seuraavien neliöjuurten arvot ilman teknisiä apuvälineitä

a) $\textcolor{#000000}{\sqrt{25}}$

Ratkaisu:

$\textcolor{#000000}{\sqrt{25}}$ on epänegatiivinen luku, jonka toinen potenssi on 25.

Perusteluna $\textcolor{#000000}{5^2=25\ \ ja\ 5\ge0}$ .

Siis $\textcolor{#000000}{\sqrt{25}}=5$ .

b) $\textcolor{#000000}{\sqrt{-25}}$

Ratkaisu:

Neliöjuurta ei olla määritelty negatiivisille juurrettaville reaalilukujen joukossa.

Siis $\textcolor{#000000}{\sqrt{-25}}$ ei voida ratkaista.

c) - $\textcolor{#000000}{\sqrt{25}}$

Ratkaisu:

a-kohdan mukaisesti $\textcolor{#000000}{\sqrt{25}}=5$ , joten $\textcolor{#000000}{-\sqrt{25}}=-5$ .

Neliöjuurilausekkeille on voimassa seuraavat neliöjuurten laskusäännöt:

Neliöjuuren neliö	$(\sqrt{a})^2 = a$ , kun $a \ge 0$
Tulon neliöjuuri	$\sqrt{ab} =\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ , kun $a \ge 0$ ja $b \ge 0$
Osamäärän neliöjuuri	$\sqrt{\frac{a}{b} } =\frac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} }$ , kun $a \ge 0$ ja $b > 0$

Tutkitaan seuraavassa esimerkissä, miten neliöjuuren laskusääntöjä käytetään.

Esimerkki 2: Neliöjuurilausekkeiden sieventämistä

Sievennä seuraavia lausekkeita ilman teknisiä apuvälineitä.

a) $\textcolor{#000000}{\sqrt{28}}$

Ratkaisu:

$\textcolor{#000000}{\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{7}=2\sqrt{7}}$

b) $\textcolor{#000000}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}}$

Ratkaisu:
$\textcolor{#000000}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot20}=\sqrt{100}=10}$

c) $\textcolor{#000000}{\sqrt{63}-\sqrt{28}}$

Ratkaisu:
$\textcolor{#000000}{\sqrt{63}-\sqrt{28}=\sqrt{9\cdot7}-\sqrt{4\cdot7}=}$
$\textcolor{#000000}{3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=\sqrt{7}}$

d) $\textcolor{#000000}{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}}}$

Ratkaisu:
$\textcolor{#000000}{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}}=\frac{\sqrt{9\cdot3}}{\sqrt{16\cdot3}}=\frac{\sqrt{9}\sqrt{3}}{\sqrt{16}\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{3}{4}}$

f) $\textcolor{#000000}{\frac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{80}}}$

Ratkaisu:

$\textcolor{#000000}{\frac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{80}}}=\textcolor{#000000}{\frac{\sqrt{9}\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{5}}{\sqrt{16}\sqrt{5}}}=\frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=$
$\textcolor{#000000}{\frac{5\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{5}{4}}$

Tarkoille neliöjuurimerkinnöille on mahdollista saada likiarvo laskinohjelmistojen avulla.

Casiolla neliöjuuri $\textcolor{#000000}{\sqrt{ }}$ löytyy Näppiksen Math1 välilehdeltä, joka on alla olevassa kuvassa ympyröity punaisella.

TI-Nspirellä neliöjuuri $\textcolor{#000000}{\sqrt{ }}$ lasketaan komennolla sqrt( ) tai työkalulaatikon matematiikkamallien neliöjuurimerkinnällä, joka on alla olevassa kuvassa ympyröity punaisella.

GeoGebralla neliöjuuri $\textcolor{#000000}{\sqrt{ }}$ lasketaan komennolla sqrt( ) tai työkalulaatikon matematiikkamallien neliöjuurimerkinnällä, joka on alla olevassa kuvassa ympyröity punaisella.

Esimerkki 3: Neliöjuuri CAS-laskimella

Laske luvun $\textcolor{#000000}{\sqrt{14}}$ likiarvo 3 desimaalin tarkkuudella.

Casio:

Painastaan neliöjuuri-komentopainiketta näppäimistön Math1 välilehdeltä ja kirjoitetaan luku 14.

Likiarvon saat, kun painat likiarvo-komentopainiketta. Se on kuvassa ympyröity punaisella vasemmassa yläkulmassa.

Vastaus: $\textcolor{#000000}{\sqrt{14}}\approx3{,}742$

TI-Nspire:

Neliöjuuri voidaan kirjoittaa matematiikkamallien avulla tai komennolla sqrt(14). Kun painat lopuksi ctrl + enter, niin saadaan vastaukseksi likiarvo.

Vastaus: $\textcolor{#000000}{\sqrt{14}}\approx3{,}742$

GeoGebra-polku:

Kirjoitetaan CAS-tilassa komento sqrt(14) tai näppäimistöltä valitaan suoraan neliöjuurikomentopainike.

Komentopainiketta likiarvo, joka on kuvassa kehystetty sinisellä saadaan likiarvo. Vastauksen tarkkuutta voidaan tarvittaessa säätää valikosta: Asetukset $\rightarrow$ Pyöristä.

Vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen:

Toisen asteen yhtälö $ax^{2} +bx+c=0$ on vaillinainen, jos siitä puuttuu joko ensimmäisen asteen termi tai vakiotermi tai molemmat. Toisen asteen yhtälö on siis muotoa: $\textcolor{#000000}{ax^2=0}$ tai $\textcolor{#000000}{ax^2+bx=0}$ tai $\textcolor{#000000}{ax^2+c=0}$ .

A) Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +c=0$

Muotoa $ax^{2} +c=0$ ( $a \ne 0$ ) olevasta toisen asteen yhtälöstä puuttuu ensimmäisen asteen termi eli $b=0$ . Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöjuuren avulla.

Esimerkki 4: Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +c=0$

Ratkaise yhtälö ilman teknisiä apuvälineitä.

a) $x^{2} -9=0$

Ratkaisu:

$x^{2} -9=0$ $|| +9$

$x^{2} =9$

Nyt voidaan ottaa neliöjuuri puolittain:

$x= \pm \sqrt{9}$ , josta

$x= \pm3$

Vastaus: $x =-3$ tai $x=3$

b) $2x^{2} -14=0$

Ratkaisu:

$2x^{2} -14=0$ $|| +14$

$2x^{2}=14$ $|| :2$

$x^{2} =7$ $|| \sqrt{}$

$x=\pm \sqrt{7}$

Vastaus: $x=-\sqrt{7}$ tai $x =\sqrt{7}$

c) $4x^{2} +1=0$

Ratkaisu:

$4x^{2} +1=0$ $||-1$

$4x^2=-1$ $||:4$

$x^{2} =-\frac{1}{4}$

Yhtälöllä ei siis ole reaalista ratkaisua, sillä minkään luvun toinen potenssi ei ole $-\frac{1}{4}.$

Vastaus: Yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua

Yhtälöiden $ax^{2} +c=0$ ratkaisemisessa käytetään usein apuna myös aiemmin esiteltyjä neliöjuuren laskusääntöjä vastausta sieventäessä. Seuraavassa esimerkissä esitellään kaksi tällaista tilannetta.

Esimerkki 5: Vastauksena tarkka-arvo

Ratkaise yhtälöt ilman teknisiä apuvälineitä.

a) $2x^{2} -100=0$

Ratkaisu:

$2x^{2} -100=0$ $||+100$

$2x^{2} =100$ $||:2$

$x^{2} =50$ $||\sqrt{}$

$x=\pm \sqrt{50}$

$x=\pm \sqrt{25\cdot 2}$

$x=\pm \sqrt{25} \sqrt{2}$

$x=\pm 5\sqrt{2}$

Vastaus: $x= 5\sqrt{2}$ tai $x= -5\sqrt{2}$

b) $32x^{2} -12=0$

Ratkaisu:

$32x^{2} -12=0$ $||+12$

$32x^{2}=12$ $||:32$

$x^{2} =\frac{12}{32} ^{ \ (4}$

$x^2 = \frac{3}{8}$ $||\sqrt{}$

$x =\pm \sqrt{\frac{3}{8}}$

$x =\pm \frac{ \sqrt{3}}{\sqrt{8}} = \pm \frac{ \sqrt{3}}{\sqrt{4 \cdot 2}} = \pm \frac{ \sqrt{3}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}} = \pm \frac{ \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

Yleensä neliöjuuria sisältävä lauseke pyritään muokkaamaan muotoon, jossa nimittäjässä ei ole neliöjuuria. Tässä lavennetaan lauseke luvulla $\sqrt{2}$ .

$x = \pm \frac{ \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \pm \frac{ \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \pm \frac{ \sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \pm \frac{ \sqrt{6}}{4}$

Vastaus: $x= \frac{\sqrt{3} }{2\sqrt{2} } = \frac{\sqrt{6}}{4}$ tai $x= -\frac{\sqrt{3} }{2\sqrt{2} } =- \frac{\sqrt{6}}{4}$

Seuraavassa esimerkissä käydään läpi, miten joissakin tilanteissa saadaan neliöjuuri sievennettyä pois nimittäjästä.

Esimerkki 6: Miten neliöjuuri saadaan pois nimittäjästä?

Sievennä:

a) $\textcolor{#000000}{\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}}$

Ratkaisu:

$\textcolor{#000000}{\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}=}\frac{(x-\sqrt{2})^2}{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}=\frac{x^2-2\sqrt{2}x+2}{x^2-2}$

Tässä esimerkissä nimittäjässä oli lauseke $\textcolor{#000000}{x+\sqrt{2}}$ . Tällainen rationaaliesitys voidaan laventaa lausekkeella: $\textcolor{#000000}{(x-\sqrt{2})}$ .

b) $\textcolor{#000000}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}}$

Ratkaisu:
$\textcolor{#000000}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=}\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2+\sqrt{2}}{2-1}=2+\sqrt{2}$

Tässä esimerkissä nimittäjässä oli lauseke $\textcolor{#000000}{\sqrt{2}-1}$ . Tällainen rationaaliesitys voidaan laventaa lausekkeella: $\textcolor{#000000}{(\sqrt{2}+1)}$ .

B) Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +bx=0$

Muotoa $ax^{2} +bx=0$ ( $a \ne 0$ ) olevasta toisen asteen yhtälöstä puuttuu vakiotermi eli $c=0$ . Tällaisten yhtälöiden ratkaisemisessa käytetään apuna tulon nollasääntöä.

Tulon nollasääntö

Tulo $mn=0$ , jos ainakin toinen tulon tekijöistä on nolla. Tällöin $m=0$ tai $n=0$ .

Yleisimmin: Tulo $\textcolor{#000000}{mnp=0}$ , jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Siis $m=0$ tai $n=0$ tai $\textcolor{#000000}{p=0}$ .

Esimerkki 7: Tulon nollasääntö

Ratkaise yhtälö $(x+2)(2x-1)=0$ ilman teknisiä apuvälineitä.

Ratkaisu:

$(x+2)(2x-1)=0$

Tulon nollasäännön mukaan tulo voi olla 0 ainoastaan, jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Nyt

$\begin{matrix} x+2=0& \text{ tai } & 2x-1=0\\ x=-2&& 2x=1 \\ &&x=\frac{1}{2} \end{matrix}$

Vastaus: $x=-2$ tai $x= \frac{1}{2}.$

Tulon nollasääntöä siis hyödynnetään toisen asteen yhtälöissä joista puuttuu vakiotermi: $ax^{2} +bx=0$ . Yhtälön vasemman puolen lauseke jaetaan tekijöihin.

$ax^{2} +bx=0$ eli $ax \cdot x +bx=0$ . Otetaan $x$ yhteiseksi tekijäksi: $x\left(ax+b\right)=0$ . Tämän jälkeen yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla. Seuraavassa esimerkissä ratkaistaan vaillinainen toisen asteen yhtälö, josta puuttuu vakiotermi.

Esimerkki 8: Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +bx=0$

Ratkaise yhtälö $x^{2} -4x=0$ ilman teknisiä apuvälineitä.

Ratkaisu:

$x^{2} -4x=0$ |Otetaan $x$ yhteiseksi tekijäksi.

$x\left(x-4\right)=0$

Tulon nollasäännön perusteella

$\begin{matrix} x=0& \text{ tai } & x-4=0\\ && x=4 \end{matrix}$

Vastaus: $x =0$ tai $x =4$

Kompleksiset ratkaisut

Esimerkissä 4c havaittiin, että yhtälöllä $4x^{2} +1=0$ ei ollut reaalisia ratkaisuja. Sillä on kuitenkin kompleksilukujen joukossa ratkaisuja. Kompleksilukujen joukossa $\mathbb{C}$ on määritelty imaginääriyksikkö $\textcolor{#000000}{i}$ , jolle $\textcolor{#000000}{i}^2=-1$ . Jos esimerkiksi

$\textcolor{#000000}{x^2=-1}$ , niin $\textcolor{#000000}{x^2=i^2}$ . Ottamalla puolittain neliöjuuret saadaan: $\textcolor{#000000}{x=i\ \ \mathrm{tai\ }x=-i}$ .

Esimerkki 9: Kompleksinen juuri

Ratkaise yhtälö $\textcolor{#000000}{3\textcolor{#000000}{x^2=-27\ }}$

Ratkaisu:

$\textcolor{#000000}{3\textcolor{#000000}{x^2=-27\ }\ \mid\ :3}$
$\textcolor{#000000}{x^2=-9}$
$\textcolor{#000000}{x^2=9i^2}\ \ \mid\sqrt{ }$

Vastaus: $\textcolor{#000000}{x=-3i\ \ \mathrm{tai\ }x=3i}$

Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan kolmen tähtijalkapalloilijan rangaistuspotkuja. Ratkaisussa esitellään, miten vaillinainen toisen asteen yhtälö soveltuu jalkapalloilijoiden rangaistuspotkujen pomppukohtien tutkimiseen. Rangaistuspotkun pilkku ja ensimmäinen pomppukohta tulkitaan potkufunktion nollakohdiksi.

Esimerkki 10: Jalkapallon rangaistuspotkut

Kesällä 2018 Venäjällä järjestettiin jalkapallon maailmanmestaruuskilpailut. Tapahtuman yhteydessä kolme kuuluisaa jalkapalloilijaa: Cristiano Ronaldo, Lionel Messi ja Neymar, päättivät osallistua rangaistuspotkukisaan. Rangaistuspotku laukaistaan aina ennalta määrätystä kohdasta, joka on 11 metriä maaliviivan keskikohdasta. Tässä rangaistuspotkukisassa voittaa se pelaaja, joka saa jalkapallon ensimmäisen pompun mahdollisimman lähelle maaliviivaa. Rangaistuspotkukisassa tähtijalkapalloilijoiden potkaisemat pallot noudattivat paraabelin lentorataa. Ronaldo: $r(x)=-\frac{1}{12}x^2+x$ , Messi: $m(x)=-0,1x^2+x$ ja Neymar: $n(x)=-\frac{x^{2}}{13}+x$ . Kenen tähtijalkapalloilijan rangaistuspotkun ensimmäinen pomppu on lähinnä maaliviivaa? Oletetaan, että kuvassa oleva maalivahti ei ehdi ottaa palloa kiinni, $x$ -akseli kuvaa jalkapallokentän pintaa ja rangaistuspotkun pilkku sijaitsee origossa. Yhtä mittayksikköä vastaa yksi metri.

a) Tutki piirto-ohjelman avulla tähtijalkapalloilijoiden mallinnettuja potkufunktioita.

Ratkaisu:

Piirretään GeoGebralla jalkapalloilijoiden mallinnetut potkufunktiot:

Ronaldo: $r(x)=-\frac{1}{12}x^2+x$ , Messi: $m(x)=-0,1x^2+x$ ja Neymar: $n(x)=-\frac{x^{2}}{13}+x$

Kuvassa on pisteen $A = (11, 0)$ kohdalle merkitty maaliviiva. Kuvaajien perusteella $m(10)=0$ , $r(12)=0$ ja $n(13)=0$ . Potkufunktioiden $m(x)$ ja $r(x)$ nollakohdat eli ensimmäinen pomppu ovat lähinnä ja yhtä lähellä kohtaa $x=11$ .

Vastaus: Kuvaajan perusteella tähtijalkapalloilijat Lionel Messi ja Cristiano Ronaldo saavan rangaistuspotkunsa ensimmäisen pompun yhtä lähelle maaliviivaa, joka on $11$ metrin päässä rangaistuspotkun pilkulta.

b) Ratkaise tehtävä algebrallisesti.

Ratkaisu:

Toisella tavalla ratkaistaessa merkitään potkufunktio nollan kanssa yhtä suureksi.

Ronaldo: Merkitään $r(x)=0$ eli $-\frac{1}{12}x^2+x=0$ |Otetaan $x$ yhteiseksi tekijäksi.

$x(-\frac{1}{12}x+1)=0$

Tulon nollasäännön perusteella:

$x=0$ tai $-\frac{1}{12}x+1=0$

Siis $x=0$ tai $x=12$

Messi: Merkitään $m(x)=0$ eli $-0,1x^2+x=0$ |Otetaan $x$ yhteiseksi tekijäksi.

$x(-0,1x+1)=0$

Tulon nollasäännön perusteella:

$x=0$ tai $-0,1x+1=0$

Siis $x=0$ tai $x=10$

Neymar: Merkitään $n(x)=0$ eli $-\frac{x^{2}}{13}+x=0$ |Otetaan $x$ yhteiseksi tekijäksi.

$x(-\frac{1}{13}x+1)=0$

Tulon nollasäännön perusteella: $x=0$ tai $-\frac{1}{13}x+1=0$

Siis $x=0$ tai $x=13$

Vastaus: Ratkaisun perusteella tähtijalkapalloilijat Lionel Messi ja Cristiano Ronaldo saavan rangaistuspotkunsa ensimmäisen pompun yhtä lähelle maaliviivaa, joka on $11$ metrin päässä rangaistuspotkun pilkulta.

Last modified: Tuesday, 10 March 2020, 4:34 PM

MAA2_oppikirjattomuushanke

Contents

Teoreema

Teoreema

Toisen asteen yhtälö

Neliöjuuri

Esimerkki 1: Neliöjuuri

Esimerkki 2: Neliöjuurilausekkeiden sieventämistä

Casiolla neliöjuuri $\textcolor{#000000}{\sqrt{ }}$ löytyy Näppiksen Math1 välilehdeltä, joka on alla olevassa kuvassa ympyröity punaisella.

Esimerkki 3: Neliöjuuri CAS-laskimella

Vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen:

A) Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +c=0$

Esimerkki 4: Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +c=0$

Esimerkki 5: Vastauksena tarkka-arvo

Esimerkki 6: Miten neliöjuuri saadaan pois nimittäjästä?

B) Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +bx=0$

Tulon nollasääntö

Esimerkki 8: Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +bx=0$

Kompleksiset ratkaisut

Esimerkki 10: Jalkapallon rangaistuspotkut

MAA2_oppikirjattomuushanke

Contents

Teoreema

Toisen asteen yhtälö

Neliöjuuri

Esimerkki 1: Neliöjuuri

Esimerkki 2: Neliöjuurilausekkeiden sieventämistä

Casiolla neliöjuuri löytyy Näppiksen Math1 välilehdeltä, joka on alla olevassa kuvassa ympyröity punaisella.

Esimerkki 3: Neliöjuuri CAS-laskimella

Vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen:

A) Vaillinainen toisen asteen yhtälö

Esimerkki 4: Vaillinainen toisen asteen yhtälö

Esimerkki 5: Vastauksena tarkka-arvo

Esimerkki 6: Miten neliöjuuri saadaan pois nimittäjästä?

B) Vaillinainen toisen asteen yhtälö

Tulon nollasääntö

Esimerkki 8: Vaillinainen toisen asteen yhtälö

Kompleksiset ratkaisut

Esimerkki 10: Jalkapallon rangaistuspotkut

Casiolla neliöjuuri $\textcolor{#000000}{\sqrt{ }}$ löytyy Näppiksen Math1 välilehdeltä, joka on alla olevassa kuvassa ympyröity punaisella.

A) Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +c=0$

Esimerkki 4: Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +c=0$

B) Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +bx=0$

Esimerkki 8: Vaillinainen toisen asteen yhtälö $ax^{2} +bx=0$