Yhtälöparit

Yhtälöpari muodostuu kahdesta yhtälöstä, joille etsitään ratkaisua siihen, millä x- ja y-arvoilla molemmat yhtälöt totetutuvat.

Yhtälöparista ratkaistaan ensin toinen tuntematon jollakin seuraavista tavoista

• merkitsemällä yhtälöt yhtäsuuriksi (y=y)
• sijoittamalla jompaan kumpaan yhtälöön toinen yhtälöistä
• laskemalla yhtälöt yhteen alekkain, siten että toinen tuntemattomista supistuu pois 

Toisen tuntemattoman selvittyä sijoitetaan se jompaan kumpaan yhtälöistä ja ratkaistaan toinen tuntematon.

Esimerkki yhtälöparin ratkaisemisesta, kun merkitään yhtälöt yhtäsuuriksi

$\begin{cases} y=5x-7&\\ y\ =\ 3x- 3& \end{cases}$

Yhtälöparin yhtälöt voi ratkaista ensin muotoon, jossa toisella puolella on y ja toisella puolella kaikki muu. Tällöin yhtälöt voidaan merkitä yhtäsuuriksi ja ratkaista ensin toinen muuttuja. 

$y=y$

$5x-7 = 3x-3$

$2x=4\parallel:2$

$x=2$

Nyt sijoitetaan x jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä y:n selvittämiseksi

esimeriksi ylempään
$y=5x-7$

$y = 5 \cdot2-7$

$y=10-7 = 3$

Yhtälöparin ratkaisuna saadaan siis

$\begin{cases} y=3&\\ x= 2& \end{cases}$

Jos olisi kysytty mikä piste toteuttaa molemmat yhtälöt, olisi vastauksena annettu piste (2, 3).

Esimerkki yhtälöparin ratkaisemisesta, kun lasketaan yhtälöt allekkain yhteen

$\begin{cases}x-3y+5=0&\\ 4x+6y-7=0& \end{cases}$

Muokataan yhtälöparia siten, että vasemmalle puolelle yhtälöitä jäävät muuttujat (eli x ja y) ja oikelle puolelle tulevat vakiot (eli pelkät luvut).
Huomaa taas, mitä tapahtuu etumerkeille yhtälöitä muokattaessa.

$\begin{cases}x-3y=-5&\\ 4x+6y=7& \end{cases}$

Seuraavaksi molempiin yhtälöihin halutaan jommalle kummalle muuttujalle sama kerroin eri merkkisenä. Tässä tapauksessa kerrotaan ylempi yhtälöistä luvulla kaksi ja saadaan kertoimiksi muuttujalle y ylempään yhtälöön -6 ja alempaan yhtälöön +6

$\begin{cases}x-3y=-5\parallel\cdot2 \\ 4x+6y=7& \end{cases}$

$\begin{cases}2x-6y=-10&\\ 4x+6y=7& \end{cases}$

Nyt yhtälöt voidaan laskea allekkain yhteen eli x- ja y-termit keskenään sekä luvut keskenään. Tässä vaiheessa muuttujista toinen (eli tässä tapauksessa y) supistuu pois ja päästään ratkaisemaan ensimmäinen muuttujista.

$6x = -3 \parallel\ :6$
$x = -\frac{3 }{6 }^{\text{(}3} =-\frac{ 1}{2 }$

Nyt sijoitetaan x jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä y:n selvittämiseksi 
esimeriksi ylempään

$x-3y+5=0$

$-\frac{ 1}{2 }\ -3y+5 = 0$

 $-3y+4\frac{ 1}{2 }\ =0$

$-3y = -\frac{9}{2 }\parallel\ :(-3)$

$y=\frac{ 3}{2 }$

Yhtälöparin ratkaisuna saadaan siis

$\begin{cases} y=\frac{ 3}{2 }\ \\ x= -\frac{ 1}{2 }& \end{cases}$

Jos olisi kysytty mikä piste toteuttaa molemmat yhtälöt, olisi vastauksena annettu piste$( -\frac{1}{2}, \ \frac{3}{2})$

Laskinohjelmistojen ollessa käytössä yhtälöparin (yhtälöryhmän) voi myös ratkaista sellaista käyttäen.
Oheisessa linkissä on esitetty miten GeoGebralla voidaan ratkaista yhtälöpari.