Potenssit

POTENSSI

Eksponenttina positiivinen kokonaisluku

Potenssia käytetään lyhempänä merkintätapana, kun samaa lukua kerrotaan itsellään monta kertaa. Esimerkiksi

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 (= 81 )$

tarkoittaa, että luku 3 on kerrottu itsellään neljä kertaa. Yleisesti potenssin määritelmä voidaan kirjoittaa

, 

missä kantaluku $a \in \mathbb {R}$ (a on reaaliluku) ja eksponentti n on positiivinen kokonaisluku.

Yleisimpiin eksponentteihin liittyvät erityisnimitykset:

• toinen potenssi on luvun neliö 
• kolmas potenssi on luvun kuutio

Esimerkiksi $8^2 = 64$ on luvun 8 neliö ja $5^3 = 125$ luvun 5 kuutio.

HUOM!  Kun merkitset tai lasket lukujen potenssiinkorotuksia, sulkujen paikka on tärkeää ottaa huomioon. Esimerkiksi $(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$, mutta $-4^2 = - 4 \cdot 4 = -16$. Suluilla osoitetaan, kuuluuko -merkki kantalukuun, kuten ensimmäisessä tapauksessa, vai onko se kantaluvusta erillään, kuten jälkimmäisessä tapauksessa.

Pohdi esimerkkiä. Ratkaisu löytyy tarvittaessa tiedostona alempaa

Esimerkki 1 Laske

a) $4^3$

b) $(-2)^5$

c) $(-2)^6$

d) $-2^5$

Potenssien laskusäännöt

Kerrataan potenssien laskusäännöt, koska niitä tarvitaan jatkossa mm. polynomilaskuissa ja jo myöhemmin tällä kurssilla eksponenttiyhtälöiden ratkaisemisessa. Potenssikaavoja voit käyttää tilanteen mukaan molempiin suuntiin, vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle.

1. Tulon potenssi:  $(ab)^n = a^n \cdot b^n$
2. Osamäärän potenssi:  $( \frac{a}{b})^n= \frac{a^n}{b^n}$
3. Samankantaisten potenssien tulo: $a^n \cdot a^m= a^{m+n}$
4. Samankantaisten potenssien osamäärä: $\frac{a^n}{a^m} =a^{n-m}$
5. Potenssin potenssi: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ 

Perustellaan laskusäännöt:

Tulon potenssi: 

Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta  $(ab)^5$.  Potenssin määritelmän mukaan

$(ab)^5 = ab\cdot ab \cdot ab \cdot ab \cdot ab$  =       $\parallel$ kertolaskun vaihdantalaki

$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b = a^5 \cdot b^5$ 

Osamäärän potenssi:  

Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta  $( \frac{a}{b} )^3$.  Potenssin määritelmän mukaan

$( \frac{a}{b} )^3= \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \ \ \ \ \ \ \parallel$  murtolukujen kertolasku

$\frac{a \cdot a \cdot a }{b \cdot b \cdot b }= \frac{a^3}{b^3}$

Tätä kaavaa käytetään, kun korotetaan murtolukuja tai -lausekkeita potenssiin. Esimerkiksi $(\frac{2}{3})^3= \frac{2^3}{3^3}= \frac{8}{27}$.

Samankantaisten potenssien tulo:

Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta  $a^3 \cdot a^2$. Tämä on samankantaisten potenssien tulo, koska molemmissa tulontekijöissä on sama kantaluku, tällä kertaa a. Potenssin määritelmän mukaan $a^3 = a \cdot a \cdot a$ ja $a^2 = a \cdot a$, joten

$a^3 \cdot a^2 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5 = a^{2+3}$

Tätä kaavaa tarvitaan viimeistään polynomien sieventämisessä. Esimerkiksi $x^3 \cdot x = x^{3+1}= x^4$

Samankantaisten potenssien osamäärä:

Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta $\frac{a^6}{a^2}$. Potenssin määritelmän mukaan $a^6 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$ ja $a^2 = a \cdot a$, joten

Samankantaisten potenssien osamäärän kaavaa käytetään ainakin, kun sievennetään polynomien jakolaskuja.

Potenssin potenssi:

Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta $(a^4)^3$ . Potenssin määritelmän mukaan
 $(a^4)^3 = a^4 \cdot a^4 \cdot a^4 = \ \ \ \ \parallel$  Samankantaisten potenssien tulo

$a^{4+4+4}=a^{12}=a^{3 \cdot 4 }$

Pohdi potenssien laskusääntöjen perusteella seuraavia esimerkkejä:

Esimerkki 2: Laske

a)  $2^4 \cdot 5^4$

b) $( \frac{3}{7})^2$

c) $\frac{52^3}{104^3}$

Esimerkki 3:  Ilmaise

a) luvun 5 potenssina $(5^2)^3 \cdot 5$

b) luvun 2 potenssina  $\frac{2^5 \cdot2 }{8}$

c) luvun 3 potenssina  $\frac{9 \cdot 3^3 }{81}$