Neliö- ja kuutiojuuri

NELIÖJUURI

Määritelmä 

(MAOL-taulukosta)

 $\sqrt{a}$ on sellainen ei-negatiivinen luku, jonka neliö (toinen potenssi) on a.

Tässä neliöjuurimerkin alla olevaa lukua a sanotaan juurrettavaksi.

Määritelmässä on siis kaksi ehtoa:

1. $( \sqrt{a})^2 = a$ ja
   
2. $\sqrt{a} \geq 0$
   

Tämä tarkoittaa, että esimerkiksi 

$\sqrt{16} =4$ koska $4^2 = 16$ ja lisäksi $4 \geq 0$ ja

$\sqrt{144} = 12$, koska $12^2 = 144$ ja $12 \geq 0$

vaikka myös $(-4)^2 = 16$ ja $(-12)^2 = 144$.

Koska juurrettava on neliöjuuren toinen potenssi, neliöjuurella on määrittelyehto: minkään reaaliluvun toinen potenssi ei ole negatiivinen, joten negatiivisille luvuille ei löydy neliöjuurta. Määrittelyehto on siis: juurrettava $a \geq 0$.

Neliöjuurilla laskemista helpottaa potenssien laskusääntöjä muistuttavien neliöjuuren laskukaavojen tunteminen. Tutustutaan tässä kolmeen tärkeimpään 

Neliöjuurten laskukaavat

1. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$  
   
2. $\sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }$
   
3. $\sqrt{a^2} = \left| a \right|$
   

Kaavat toimivat molempiin suuntiin, vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle. 

Kaavan 1 mukaan voidaan laskea esimerkiksi: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18 } = \sqrt{36} = 6$

Kaavaa 2 sovelletaan mm. murtolukujen neliöjuurissa:

$\sqrt{ \frac{9}{25} } = \frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}} = \frac{3}{5}$ ja

$\sqrt{1 \frac{7}{9} } = \sqrt{ \frac{16}{9} } = \frac{ \sqrt{16} }{ \sqrt{9} } = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$

Kaavan 3 oikean puolen itseisarvomerkit voivat ensinäkemältä näyttää turhilta, mutta kun ajattelemme reaalilukua a, sillä on yhtä suuret mahdollisuudet oilla positiivinen tai negatiivinen. Olipa se kumpi vain, sen toinen potenssi $a^2$ on nolla tai positiivinen luku ja täyttää neliöjuuren määrittelyehdon. Kun tästä otetaan neliöjuuri, sen on oltava $\sqrt{a^2}\geq 0$, ja varmasti tämän ehdon täyttää $\left|a \right|$. Esimerkiksi luku $-1,5 < 0$, mutta $(-1,5)^2 = 2,25 > 0$. Voimme ottaa neliöjuuren $\sqrt{(-1,5)^2} = \sqrt{2,25}$, josta ei tässä tapauksessa tule alkuperäistä lukua -1,5 vaan sen itseisarvo $\left|-1,5 \right| = 1,5$

KUUTIOJUURI (kolmas juuri)

Määritelmä:

$\sqrt[3]{a}$ tarkoittaa lukua, jonka kolmas potenssi on a.

Esimerkiksi $\sqrt[3]{27} = 3$, koska $3^3=27$ ja 

$\sqrt[3]{-8} = -2$, koska $(-2)^3 = -8$.

Koska negatiivisten lukujen kolmannet potenssit ovat negatiivisia, myös negatiivisilla luvuilla on kolmas juuri. Ylläolevista neliöjuuren laskukaavoista 1. ja 2. ovat myös kuutiojuuren laskukaavoja.

Vain harvojen reaalilukujen neliö- tai kuutiojuuret ovat kokonaislukuja tai edes murtolukuja. Silloin tarkka arvo on juurilauseke, esim, $\sqrt{3}$ tai $\sqrt[3]{12}$. Likiarvon saat laskimesta. Potenssiyhtälöiden yhteydessä tässä osiossa on video, jossa näytetään, miten geogebran CAS-laskimella saa otettua juuren likiarvon.

Pohdi seuraavia esimerkkejä. Ratkaisut löytyvät tarvittaessa allaolevasta ratkaisutiedostosta.

Esimerkki 1. Sievennä

a) $\sqrt{0,04}$

b) $\sqrt{2 \frac{1}{4} }$

c) $\sqrt[3]{ \frac{2}{16} }$

d) $\sqrt{16}+ \sqrt{9}$

e) $\frac{ \sqrt{20} }{ \sqrt{5} }$

f) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

g) $\sqrt[3]{27000}$

h) $\sqrt[3]{-64}$

i) $\sqrt{-64}$

j) $- \sqrt{64}$