Teoreema

Tekijöihin jakamisessa polynomi ilmaistaan alempiasteisten polynomien tulona.

Esimerkiksi x³ - 4x = x (x – 2) (x + 2)

tai

x³ + x² =x² (x + 1).

Jokaista polynomia ei voi jakaa tekijöihin reaalilukujen joukossa.

Esimerkiksi x² + 1 ei jakaudu tekijöihin.

Keinoja jakaa tekijöihin:

1) Yhteisen tekijän avulla

2) Muistikaavojen, kuten a² – b² =(a - b)(a + b) ,avulla

3) Nollakohtien avulla

4) Ryhmittelemällä

Tekijöihin jakaminen on tarpeen esimerkiksi

- korkeamman asteen yhtälöä ratkaistaessa

- ennen murtolausekkeen supistamista.

Esimerkki 1.

Jaa tekijöihin x³ – 16x

Ratkaisu: Otetaan molemmista termeistä yhteinen tekijä x:

x³ – 16x = x(x² – 16)

Huomataan, että jälkimmäinen tekijä menee vielä pienemmiksi tekijöiksi muistikaavalla:

x³ – 16x = x(x² – 16) = x(x – 4)(x + 4).

Vastaus: x³ – 16x = x(x – 4)(x + 4).

Esimerkki 2

Jaa tekijöihin 2x⁴ – 32

Ratkaisu: 

2x⁴ – 32 =

2(x⁴ – 16) =

2(x² – 4)(x² + 4)=

= 2(x - 2)(x+2)(x² + 4)

Vastaus: 2x⁴ – 32 = 2(x - 2)(x+2)(x² + 4)

Esimerkki 3

Jaa tekijöihin x³– 2x² +x – 2

Ratkaisu: 

Yhteistä tekijää emme voi ottaa emmekä käyttää muistikaavaa. Sen sijaan ryhmittely onnistuu tässä:

 x³– 2x² +x – 2 = 

x² (x-2) + (x -2) =

(x -2)(x² + 1) 

Vastaus: x³– 2x² +x – 2 = (x -2)(x² + 1)