MAA10PM: Teoreema

Teoreema

Jatkuva jakauma

Introtehtävässä oleva esimerkki siian mädin mätijyväsen painosta on perustavaa laatua oleva esimerkki jatkuvasta jakaumasta. Se on tasainen jakauma välillä [0,06 ; 0,11] tai vastaavasti [a, b]. Koska koko otosavaruuden todennäköisyys on 1 tai 100 %, niin sanotaan, että siian mädin mätijyväsen tiheysfunktio on:

${f\left(x\right)=\begin{cases} 20&{,}\ kun\ x\in[0{,}06\ ;\ 0{,}11]\\ 0&muualla \end{cases}}$

Tiheysfunktio saadaan määritettyä kun luku 1 jaetaan välin [0,06 ; 0,11] pituudella. Todennäköisyys on välin ulkopuolella luonnollisesti nolla. Tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan $\underline{x}$ tai $X$ tiheysfunktio on siis:

${f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}&{,}\ kun\ x\in[a\ ,\ b]\\ 0&muualla \end{cases}}$

Aiemmissa luvuissa, missä käsiteltiin diskreettiä- ja binomin- jakaumaa, voitiin havaita, satunnaismuuttuja $\underline{x}$ tai $X$ sai vain rajallisia arvoja. Esimerkiksi tetraedrin muotoisen nopan heitossa saatiin silmäluvut {1, 2, 3, 4}. Jatkuvassa jakaumissa satunnaismuuttuja $\underline{x}$ tai $X$ saa kaikki reaalilukuarvot jollakin välillä [a, b], kuten siian mätitehtävässä. Jatkuvia jakaumia määritellään tiheysfunktiolla.

Jatkuvan jakauman tiheysfunktio $f(x)$ määritellään seuraavasti:

1. Tiheysfunktio on epänegatiivinen, eli se saa aina positiivisia arvoja. $f(x) \geqslant 0$ kaikilla reaaliluvuilla.

2. Tiheysfunktiolla on äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia.

3. Tiheysfunktion $f(x)$ ja $x$ -akselin väliin jäävä pinta-ala $A = 1$ eli $\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx = 1$ . Toisin sanoen koko todennäköisyysavaruus on 1 tai 100 %.

Jatkuvan jakauman todennäköisyyksiä lasketaan kertymäfunktion avulla. Se saadaan, kun jatkuvan jakauman tiheysfunktio $f(x)$ integroidaan. Kertymäfunktiota merkitään yleensä funktiolla $K(x)$ tai $F(x)$ .

${\int _{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx=1}$

${P\left(a\le X\le b\right)=\int _a^bf\left(x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!a}^bF\left(x\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

Esimerkki 1: Siikojen ikäjakauma

Eräässä järvessä olevien siikojen iät näyttävät noudattavan tiheysfunktiota $f(x) = \left \{\begin{array}{l} {0 \quad\quad , kun\ x<0} \\ { \frac{3}{(x + 3)^{2}}, kun\ x \geqslant 0} \end{array}\right.$ .

(CC-BY, PIXABAY)

a) Osoita, että $f(x)$ on tiheysfunktio.

b) Määritä $f(x)$ :n kertymäfunktio.

c) Laske todennäköisyys, että järvestä satunnaisesti valittu siika on alle 1 vuotta.

d) Laske todennäköisyys, että järvestä satunnaisesti valittu siika on 1 -2 vuotta.

Ratkaisu:

a) Osoita, että $f(x)$ on tiheysfunktio.

$1^{o}$ Funktio $f$ on epänegatiivinen kaikilla $x$ :n arvoilla.

$2^{o}$ $\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx = 0 +\int_{0}^{\infty} \frac{3}{(x + 3)^{2}}dx=\int_{0}^{\infty} {3}\cdot{(x + 3)^{-2}}dx$

$-\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^{\infty}3\left(x\ +\ 2\right)^{-1} =$ $\bigg/_{\!\!\!\!\!\infty}^{0} \frac {3}{x + 2} =$

$1-\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3}{x+2} =$ $1 - 0 = 1$

$3^{o}$ Selvästi funktiolla $f(x)$ on vain kohdassa $x=0$ oleva epäjatkuvuuskohta.

Kohtien $1^{o} - 3^{o}$ perusteella $f(x)$ on tiheysfunktio.

b) Määritä $f(x)$ :n kertymäfunktio.

$F(x) = \int_{-\infty}^xf\left(u\right)du =$ $0 +\int_{0}^{x}3(u + 2)^{-2}du=$

$\bigg/_{\!\!\!\!\!x}^{0}\frac {3}{u +2} =$ $\frac {3}{2} - \frac {3}{x +2} =$ $\frac {3x}{2x +4}$

Siis $F(x) =$ $\frac {3x}{2x +4}$

c) Laske todennäköisyys, että järvestä satunnaisesti valittu siika on alle 1 vuotta.

$F(1) =$ $\frac {3 \cdot 1}{2 \cdot 1 +4} =\frac {3}{6}=\frac {1}{2}$

d) Laske todennäköisyys, että järvestä satunnaisesti valittu siika on 1 -2 vuotta.

$F(2) - F(1)$ =

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Esimerkki 2: Tiheysfunktion määrittäminen

Olkoon funktio $f(x) =\left\{\begin{array}{l} {ax , kun\ 0 \leqslant x \leqslant 5} \\ {0 \quad, muualla\ } \end{array}\right.$ . Määritä parametri $a$ , että $f(x)$ täyttää tiheysfunktion määritelmän.

Määritä kertymäfunktio $F(x)$ ja laske todennäköisyys $P(1 \leqslant \underline x \leqslant 3)$

Ratkaisu:

$1^{o}$ Välttämätön ehto on, että $a > 0$ , jolloin $f(x)$ on epänegatiivinen kaikilla $x$ :n arvoilla.

$2^{o}$ $F(x)$ = $\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx = 0 +\int_{0}^{5}axdx=$ $\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^{5} \frac {ax^{2}}{2} =\frac {25a}{2}= 1$ , josta

$a = \frac {2}{25}$

Nyt kertymäfunktio on siis $F(x)= \frac {1}{25}x^{2}$

$P(1 \leqslant \underline x \leqslant 3)$ $= F(3) - F(1) =$ $\frac {9}{25}-\frac {1}{25}=\frac {8}{25}$

Ratkaisu 2:

GeoGebralla saadaan:

Kuvassa on funktio $f(x)$ piirretty liukusäätimen avulla. Pisteiden A, B ja C välille on piirretty kolmio. Kun haetaan kolmion pinta-alaksi 1, niin a:n arvo on 0,04. Tällöin tiheysfunktioksi saadaan: $f(x)=\frac{2}{25}x$ .

Kertymäfunktio on puolestaan: $F(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(u\right)du = 0 +\int_{0}^{x}\frac {2u}{25}du=\frac {1}{25}x^{2}$

$P(1 \leqslant \underline x \leqslant 3)$ $= F(3) - F(1) =$ $\frac {9}{25}-\frac {1}{25}=\frac {8}{25}$ .

Jatkuvalle jakaumalle voidaan laskea odotusarvo, keskihajonta ja varianssi seuraavasti:

Odotusarvo	$E(\underline x) = \int_{-\infty}^{\infty}x \cdot f\left(x\right)dx$
Keskihajonta	$D(\underline x) = \sqrt { \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(\underline x))^{2} \cdot f(x)dx}$
Varianssi	$D^2(\underline x) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(\underline x))^{2} \cdot f(x)dx$

Usein keskihajontaa määrittäessä kannattaa ensin laskea varianssi, koska keskihajonta on sen neliöjuuri.

Esimerkki 3: Tiheysfunktion parametrit

Olkoon tiheysfunktio $f(x) =\left\{\begin{array}{l} {\frac{1}{8}x , kun\ 0 \leqslant x \leqslant 4} \\ {0 \quad, muualla\ } \end{array}\right.$ .

Laske tiheysfunktion a) odotusarvo b) varianssi c) keskihajonta.

Ratkaisu:

a) Odotusarvo:

$E(\underline x) = \int_{-\infty}^{\infty}x \cdot f\left(x\right)dx$ $= \int_{0}^{4}x \cdot \frac {x}{8}dx=$

$\int_{0}^{4} \frac {x^2}{8}dx =$ $\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^{4} \frac {x^{3}}{24}=$ $\frac {8}{3}=2\frac {2}{3}$

b) Varianssi:

$D^2(\underline x) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(\underline x))^{2} \cdot f(x)dx=$

$\int_{0}^{4} (x - \frac{8}{3})^{2} \cdot \frac{x}{8}dx=$ $\int_{0}^{4}( \frac{x^3}{8} - \frac{2x^2}{3} + \frac{8x}{9} ) dx=$

$\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^{4} \frac {x^{4}}{32} - \frac {2x^{3}}{9} + \frac {4x^{2}}{9}=$ $\frac {8}{9}$

c) Keskihajonta:

$D(\underline x) = \sqrt {\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $\approx 0,94$

Viimeksi muutettu: keskiviikko 15. tammikuu 2020, 23.10

MAA10, Todennäköisyys ja tilastot

Sisältö

Teoreema

Teoreema

Jatkuva jakauma

Esimerkki 1: Siikojen ikäjakauma

Esimerkki 2: Tiheysfunktion määrittäminen

Esimerkki 3: Tiheysfunktion parametrit