MAA10PM: Teoreema

Teoreema

Binomijakauma

Introtehtävässä selvitettiin montako 9,93 sekunnin alitusta Usain Boltilla olisi todennäköisin vaihtoehto neljässä peräkkäisessä 100 metrin pikajuoksussa. Siinä laskettiin tapaukset, että 9,93 sekunnin alituksia olisi 0, 1, 2, 3 tai 4 kertaa. Nämä kaikki mahdolliset tapaukset muodostavat binomijakauman ja eri tapausten laskemiseen käytettiin binomitodennäköisyyttä.

$P_{k} =\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right)\cdot p^{k} \cdot q^{n-k} =\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right)\cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

$P_{k}$ on halutun tapauksen todennäköisyys

$n$ on kaikkien tapausten lukumäärä

$k$ on halutun tapauksen lukumäärä ja $0 \leqslant k \leqslant n$

$p$ on halutun tapauksen todennäköisyys

$q$ , $q = 1 - p$ on komplementtitapauksen todennäköisyys

Binomin jakauman tunnusluvut

Binomin jakauman tunnusluvut ovat odotusarvo ja keskihajonta. Jos jokin tutkittava ilmiö noudattaa binomin jakaumaa, niin merkitään: $\underline{x}\sim Bin\left(n,p\right)$ , missä n on kaikkien tapausten lukumäärä ja p on halutun tapauksen esiintymistodennäköisyys.

Odotusarvo	$E\underline{x}=\mu =np$
Keskihajonta	$D\underline{x}=\sigma =\sqrt{np\left(1-p\right)} =\sqrt{npq}$

Esimerkki 1, Pikajuoksija

Usain Bolt on yksi menestyneimmistä arvokilpailuiden pikajuoksijoista. On arvioitu, että osallistuessaan kilpailuun, hän alittaa 9,93 sekuntia 44 %:n todennäköisyydellä. Osallistuessaan erääseen MM-kisaan hän joutuu juoksemaan: alkuerän, neljännesvälierän, semifinaalin ja finaalin. Siis tietenkin, että pääsee aina jatkoon. Selvitä, montako 9,93 sekunnin alitusta on todennäköisin vaihtoehto neljässä peräkkäisessä 100 metrin pikajuoksussa. Laske vielä 9,93 sekunnin alitukselle odotusarvo ja keskihajonta.

CC-BY, PIXABAY

Ratkaisu:

Sovelletaan tehtävän ratkaisuun binomitodennäköisyyttä:

Nyt p = 0,44, q = 0,56, n = 4 ja k saa arvot 0, 1, 2, 3 ja 4. Taulukoidaan Usain Boltin 9,93 sekunnin alitusten lukumäärät juoksukilpailussa.

Ei yhtään 9,93 sekunnin alitusta	$k = 0$	$P_{0} =\left(\begin{array}{l} {4} \\ {0} \end{array}\right)\cdot 0,44^{0} \cdot 0,56^4 \approx 0,09834$
Yksi 9,93 sekunnin alitus.	$k = 1$	$P_{1} =\left(\begin{array}{l} {4} \\ {1} \end{array}\right)\cdot 0,44^{1} \cdot 0,56^3 \approx 0,30908$
Kaksi 9,93 sekunnin alitusta.	$k = 2$	$P_{2} =\left(\begin{array}{l} {4} \\ {2} \end{array}\right)\cdot 0,44^{2} \cdot 0,56^2 \approx 0,36427$
Kolme 9,93 sekunnin alitusta.	$k = 3$	$P_{3} =\left(\begin{array}{l} {4} \\ {3} \end{array}\right)\cdot 0,44^{3} \cdot 0,56^1 \approx 0,19081$
Neljä 9,93 sekunnin alitusta.	$k = 4$	$P_{4} =\left(\begin{array}{l} {4} \\ {4} \end{array}\right)\cdot 0,44^{4} \cdot 0,56^0 \approx 0,03748$

Odotusarvo: $\mu =4\cdot 0,44 = \frac{44}{25} =1,76$

Keskihajonta: $\sigma =\sqrt{4\cdot 0,44 \cdot 0,56 } \approx 0,99277$

Vastaus: Taulukoinnin perusteella todennäköisin vaihtoehto on, että Usain Bolt juoksee kaksi kertaa alle 9,93 sekunnin. Alle 9,93 sekunnin alitukselle odotusarvo on 1,76 ja keskihajonta 0,99.

Esimerkki 2: Viisi tetraedrin muotoista noppaa (LO)

CC-BY, PIXABY

Nopanheittäjä heittää viittä tetraedrin muotoisia noppaa. Tässä esimerkissä käytetään LibreOfficen Calccia (Ota tästä aloitustiedosto)

a) Selvitä silmäluvun kaksi todennäköisyysjakauma.

b) Tee histogrammi todennäköisyysjakaumalle.

c) Määritä odotusarvo ja keskihajonta.

Luvusta 11 Binomitodennäköisyys; Esimerkki 2. Vapaaheittoviivalla koripallossa, voit kerrata LibreOfficen Calcin käyttöä funktiolla binomi.jakauma.

Ratkaisu:

a) Selvitä silmäluvun kaksi todennäköisyysjakauma.

Alla olevassa kuvasarjassa työstetään silmäluvun kaksi todennäköisyysjakauma. Aluksi valitaan binomi.jakauma-funktio solussa E3.

Sama kaava voidaan kopioida allekkain soluihin B4-B8

b) Tee histogrammi todennäköisyysjakaumalle.

Maalataan ylläolevan kuvan mukaisesti solualueet A2-A8 ja E2-E8. Sitten lisätään kaavio.

Tarkista seuraavien kuvien mukaisesti asetukset.

Hiiren ykköspainikkeella aktivoidaan pylväät, jolloin vihreät täpät ilmestyvät pylväisiin.

Hiiren kakkospainikkeella valitaan Muotoile arvosarjat:

Asetetaan objektivälit 0 %, jolloin pylväsdiagrammi muuttuu histogrammiksi.

c) Määritä odotusarvo ja keskihajonta.

Odotusarvo: $\mu =5\cdot 0,25 = 1,25$

Keskihajonta: $\sigma =\sqrt{5\cdot 0,25 \cdot 0,75 } \approx 0,9682$

Tästä voit tutkia (Ratkaisutiedostoa).

Esimerkki 3: Viisi tetraedrin muotoista noppaa (GeoGebra)

CC-BY, PIXABY

Nopanheittäjä heittää viittä tetraedrin muotoisia noppaa. Tässä esimerkissä käytetään GeoGebran (v6.) todennäköisyyslaskuria.

a) Selvitä silmäluvun kaksi todennäköisyysjakauma.

b) Tee pylväsdiagrammi ja kertymädiagrammi todennäköisyysjakaumalle.

c) Määritä odotusarvo ja keskihajonta.

Ratkaisu:

a) Selvitä silmäluvun kaksi todennäköisyysjakauma.

Avataan ensin todennäköisyyslaskuri GeoGebrassa.

Asetetaan n ja p arvot laskuriin:

Todennäköisyysjakauman arvot ovat yllä olevan kuvan oikeassa reunassa.

b) Tee pylväsdiagrammi ja kertymädiagrammi todennäköisyysjakaumalle.

Huomataan, että kuvaajaksi ei saada histogrammia. Kertymädiagrammi saadaan, valitaan alla olevan kuvan mukaisesti kertymä-toiminto. Se on ympyröity punaisella.

c) Määritä odotusarvo ja keskihajonta.

a- ja b- kohdan kuvien vasemmassa yläreunasta löytyvät odotusarvon ja keskihajonnan suuruudet.

Viimeksi muutettu: torstai 2. tammikuu 2020, 14.58

MAA10, Todennäköisyys ja tilastot

Sisältö

Teoreema

Teoreema

Binomijakauma

Binomin jakauman tunnusluvut