MAA10PM: Todennäköisyyden käsite, klassinen todennäköisyys

Todennäköisyyden käsite, klassinen todennäköisyys

Todennäköisyyden käsite

Monia reaalimaailman ilmiöitä voidaan tai halutaan ennustaa. Esimerkiksi huomenna on pouta 30 %:n todennäköisyydellä. Todennäköisyyslaskennassa tarkastellaan erilaisia satunnaisilmiöitä ja tapahtumaketjuja. Todennäköisyys laskemisessa on tärkeää tunnistaa, mitä todennäköisyyden sääntöä kannattaa soveltaa ja miten tilannetta tai ilmiöitä on järkevää mallintaa. Todennäköisyys lyhennetään usein kirjainyhdistelmällä tn.. Täysin varman tapahtuman todennäköisyys on $1$ tai $100 \%$ . Esimeriksi omena tipahtaa maahan 100 % todennäköisyydellä. Mahdottoman tapauksen todennäköisyys on $0$ tai $0 \%$ . Kukko munii kultamunia 0 %:n todennäköisyydellä.

Todennäköisyys, tn. ilmaistaan väleille $0 -100$ % tai $0 - 1$ .

$P$ on todennäköisyys ja se on sanasta probability, possibility

$A$ on haluttu todennäköisyys

$n(A)$ tarkoittaa suotuisten tapausten lukumäärää

$n(E)$ tarkoittaa kaikkien tapausten lukumäärää

Klassinen todennäköisyys lasketaan perusjoukon $E$ lukumäärän ja halutun tapauksen $A$ lukumäärän suhteena:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(E)}$

Huomaa, että $P(A) + P ($ $\overline{A}$ $) = \frac{n(A)}{n(E)} + \frac{n(E) - n(A)}{n(E)} = 1$ , missä $\overline{A}$ on $A$ :n komplementti.

Nykyään todennäköisyyslaskentaa hyödynnetään monilla eri alueilla: matematiikassa, vakuutusmatematiikassa, luonnontieteissä, keinoälyssä, uhkapeleissä, talouselämässä, tietotekniikassa ja filosofiassa. Esimerkiksi moottorikelkan liikennevakuutusmaksu on suurempi kuin traktorin vakuutusmaksu. Vakuutusyhtiön matemaatikko on laskenut, että moottorikelkalla on suurempi riski joutua onnettomuuksiin. Markkinoinnissa todennäköisyyslaskentaa voi myös käyttää hyväksi. Esimerkiksi John Paulos kirjassaan Numerotaidottomuus (Innumerancy, 2012) kirjoitti erään mielenkiintoisen tarinan, jossa eräs Amerikkalainen liikemies rikastui käyttämällä markkinoinnissa todennäköisyyksiä hyväkseen. Rikastumisidea lyhyesti: Hän lähetti kahdenalaisia talousennusteita pörssikurssien kehityksistä. Kuukauden kuluttua voitiin todeta, että ½ milj. amerikkalaista oli saanut oikean ennusteen. Hän toisti liikeideaansa ja lähetti kahdenalaisia talousennusteita pörssikurssien kehityksistä. Kuukauden kuluttua voitiin todeta, että $\frac {1}{4}$ milj. amerikkalaista oli saanut taas oikean talousennusteen pörssikurssien kehityksistä. Hän jatkoi samaa toimintaasa vielä muutaman kerran ja sitten pyysi luottavaisia uusia asiakkaitaan sijoittamaan pörssiosakkeisiin. Hän sai paljon uusia asiakkaita ja runsaasti pörssisijoituksia. Hän osasi käyttää hyväkseen todennäköisyyslaskentaa ja ihmisten hyväuskoisuutta, ja niin hän pääsi siten rikastumaan.

Lukiomatematiikassa keskitytään mm. seuraaviin todennäköisyysilmiöihin: klassinen, tilastollinen, geometrinen, ehdollinen, erillisten tapausten, riippumattomien tapausten, riippuvien tapausten, diskreettien tapausten. ja jatkuvien tapausten todennäköisyys. Todennäköisyyslaskennassa on äärimmäisen tärkeä tunnistaa, mistä todennäköisyyden lajista ja avaruudesta on kysymys. Todennäköisyysavaruutta kannattaa toisinaan mallintaa Venn-diagrammilla, koska se helpottaa ilmiön hahmottamista. Myös tehtävänanto on tarkasti luettava, jotta ymmärretään se, mitä tehtävässä kysytään. Todennäköisyystehtävissä kiinnitä erityisesti huomioita seuraaviin adjektiiveihin: vähintään, enintään, tismalleen, korkeintaan tms.. Todennäköisyyslaskennassa käytetään muuttujana satunnaismuuttujaa $\underline{x}$ . Satunnaismuuttujalla $\underline{x}$ tarkoitetaan satunnaisesti valittua havaintoaineiston arvoa. Sitä käytetään ihan samassa merkityksessä kuin aiemmin tuntemattomasta luvusta x.

Esimerkiksi nopan silmäluvuissa $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ on kuusi erilaista diskreettiä satunnaismuuttujan arvoa. Sanotaan, että diskreetti satunnaismuuttuja $\underline{x}$ saa äärellisen määrän eri lukuarvoja ja nämä lukuarvot ovat epäjatkuvia.

Esimerkki 1. Arpakuutiot

Tarkastellaan perinteistä arpakuutiota ja tetraedrin muotoista noppaa.

a) Mitä satunnaismuuttujan arvoja voi perinteinen arpakuutio (heksaedri, säännöllinen kuusitahkoinen kappale) saada?

b) Mitä satunnaismuuttujan arvoja voi säännöllinen tetraedrin muotoinen noppa saada?

c) Millä todennäköisyydellä arpakuutiota heitettäessä saadaan parillinen silmäluku?

d) Jos heitetään säännöllisiä heksaedrin ja tetraedrin muotoisia noppia, niin millä todennäköisyydellä saadaan kaksi paritonta silmälukua?

(CC-BY, PIXABAY)

Ratkaisu:

a) Perinteisen arpakuution satunnaismuuttuja $\underline{x}$ voi saada arvot $\{ x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3, x_{4} = 4, x_{5} = 5, x_{6} = 6 \}$

b) Säännöllinen tetraedrin muotoisen nopan satunnaismuuttuja $\underline{x}$ voi saada arvot $\{ x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3, x_{4} = 4 \}$

c) Suotuisat tapaukset $A$ eli parilliset silmäluvut $\{2, 4, 6\}$ ja niitä on $3$ .

d) Listataan ensin GeoGebralla parittomat parit.

Kaikkia mahdollisia lukupareja on 24, joista suotuisia tapauksia on 6. Lasketaan klassinen todennäköisyys:

$P(A) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Saadaan kaksi paritonta silmälukua siis 25 %:n todennäköisyydellä.

Esimerkki 2. Taimi-tädin sokerikakku

Taimi-tädillä oli keittiössä vajaita kanamunakoteloita. Hän yhdisti kananmunat yhteen 12 munan koteloon ja sai sen siten täyteen. Kävi kuitenkin niin, että yhdistettyyn kanamunakoteloon eksyi 4 vanhentunutta (mätää) kananmunaa. Taimi-täti aikoo leipoa sokerikakun neljällä kananmunalla. Millä todennäköisyydellä Taimi-täti kuitenkin valitsee sattumanvaraisesti 'älyllään' olevat neljä kananmunaa sokerikakkuunsa?