Binomitodennäköisyys

Tässä luvussa tutustutaan binomitodennäköisyysteen eli toistokokeeseen. Se soveltuu riippumattomien tapausten toistokokeeseen. Esimerkiksi arpakuutiota heitettäessä jokaisen silmäluvun esiintymistodennäköisyys $\frac {1}{6}$ pysyy samana. Vastaavasti lantinheitossa kruunu (kr.) ja klaava (kl.) heittotodennäköisyys on $\frac {1}{2}$ ja se pysyy samana vaikka lanttia heitettäisiin monta kertaa. Binomitodennäköisyydessä ollaan kiinnostuneita: Montako onnistunutta (k) tai haluttua tapausta on kaikkien tapausten (n) joukossa. Kuten introtehtävässä oltiin kiinnostuneita, jos Anni heittää täsmälleen yhden yli 62 metrisen heiton keihäässä kolmen kierroksen aikana. Se voitaan laskea kolmen erilaisen kolmen suotuisan variaation mukaisesti: (pqq), (qpq) ja (qqp) tai binomitodennäköisyydellä, mikä opiskellaan tässä luvussa. Kun diskreetissä todennäköisyysavaruudessa voidaan tunnistaa binomitodennäköisyys:

$P_{k} =\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right)\cdot p^{k} \cdot q^{n-k} =\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right)\cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

$P_{k}$ , halutun tapausten todennäköisyys joukossa n

$n$ , kaikkien tapausten lukumäärä

$k$ , haluttujen tapausten lukumäärä

$p$ , halutun tapauksen todennäköisyys

$q$ , $q = 1 - p$ , halutun tapauksen vastatodennäköisyys eli komplementtitapauksen todennäköisyys

Tyypillisiä esimerkkejä binomitodennäköisyydestä ovat muun muassa: "Millä todennäköisyydellä kolmea arpakuutiota heitettäessä saadaan kaksi kuutosta?", "Millä todennäköisyydellä viidellä henkilöllä kymmenestä on veriryhmä O?", "Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa nelilapsisessa perheessä on kolme poikaa?". Binomitodennäköisyyden kaavassa $\left (\begin{matrix}n\\ k\end{matrix} \right )$ takaa sen, että kaikki vaihtoehdot saadaan otettua huomioon.

Esimerkki 1. Annin keihäänheitto

Anni on hyvä keihäänheittäjä, jonka heittotuloksia on tilastoitu. Niiden perusteella voidaan todeta, että Anni saa heitettyä vähintään 62 metriä keihästä 40 %:n todennäköisyydellä. On syytä olettaa, että erään kansainvälisen kilpailun kolmen heittokierroksen karsintakilpailussa 62 metrin heitto keihäässä saattaa riittää finaaliin. Millä todennäköisyydellä Anni pääsee finaaliin ja heittää täsmälleen yhden kerran karsintakilpailussa vähintään 62 metriä keihästä?

Ratkaisu:

Merkitään $A =$ ''Anni saa heitettyä vähintään 62 metriä jollakin kolmesta karsintakierroksen heitosta.''

Olkoon suotuisan tapauksen todennäköisyys $p=\frac{4}{10}$ ja sen ja komplementtitapauksen todennäköisyys $q=\frac{6}{10}$

Nyt n = 3 ja k = 1

Kun nämä sijoitetaan binomitodennäköisyyden kaavaan, niin:

$P\left(A\right)$ = $\left(\begin{array}{l} {3} \\ {1} \end{array}\right)\cdot \left(\frac{4}{10} \right)^{1} \left(\frac{6}{10} \right)^{2}$ $= 0,432$

Vastaus: Anni heittää karsintakilpailussa keihästä vähintään 62 metriä noin 43 %:n todennäköisyydellä.

Seuraavassa esimerkissä sovelletaan binomitodennäköisyyttä erääseen vanhaan ylioppilaskoetehtävään.

Esimerkki 2. Vapaaheittoviivalla koripallossa.

Joukkue A johtaa koripallo-ottelua yhdellä pisteellä peliajan päättyessä. Joukkue B on saanut kuitenkin vielä kolme vapaaheittoa, joista kustakin saa sen onnistuessa yhden pisteen. Kunkin vapaaheiton onnistumis-todennäköisyys on 75 %. Millä todennäköisyydellä joukkue B on voittanut ottelun vapaaheittojen jälkeen? (S1994/5b)

(CC-BY, PIXABY)

Ratkaisu:

Tässä $n = 3$ ja $k = 2, 3$

vapaaheiton onnistumistodennäköisyys on $p=\frac{3}{4}$ ja sen komplementtitodennäköisyys on $q=\frac{1}{4}$ .

Siis $P\left(A\right)=P\left("Kaksi\; vapaaheittoa\; onnistuu\; kolmesta."\right)+P\left("Kolme\; vapaaheittoa\; onnistuu\; kolmesta."\right)$

$P\left(A\right)=\left(\begin{array}{l} {3} \\ {2} \end{array}\right)\cdot \left(\frac{3}{4} \right)^{2} \left(\frac{1}{4} \right)^{1} +\left(\begin{array}{l} {3} \\ {3} \end{array}\right)\cdot \left(\frac{3}{4} \right)^{3} \left(\frac{1}{4} \right)^{0} =0,84375$

Vastaus: Ainakin kaksi vapaaheittoa kolmesta onnistuu noin 84 % todennäköisyydellä.

Ratkaisu 2:

Hyödynnetään taulukkolaskentaohjelmaa (aloitustiedosto).

Viedään focus soluun D3 ja lisätään funktio ja valitse BINOMI.JAKAUMA -funktio. Valitse sitten oikeasta alakulmasta Seuraava painike.

Syötä X (Onnistumisten lukumäärä): B3; Kokeet (Kaikki tapaukset n): A3; SP (Success probability): C3; C (Kumulatiivisuus): 0;

Saadaan tulos soluun D3, joka voidaan kopioida kahvaamalla alaspäin.

Lasketaan kahden solun D5 ja D6 summa. Voit tarkastella ratkaisua (Valmistiedosto)

Vastaus: Ainakin kaksi vapaaheittoa kolmesta onnistuu noin 84 % todennäköisyydellä.

Esimerkki 3. Kevään krookukset

(CC-BY, PIXABY)

Keväällä ensimmäisiä kukkivia kukkia ovat krookukset. Osa syksyllä istutetuista sipuleista saattaa kärsiä erilaisista kasvisairauksista ja myyrän tuhoista. Mikä pitäisi olla kukkivan krookuksen kukkimistodennäköisyys, jos ainakin neljä krookuksen istutettua sipulia viidestä kukkii 80 %:n todennäköisyydellä?

Ratkaisu:

Tässä on LibreOfficen (aloitustiedosto)

Käytetään Esimerkin 2 mukaisesti BINOMI.JAKAUMA -funktiota. Sarakkeelle A on kirjoitettu muuttuvat kukkimistodennäköisyydet 1 %:n todennäköisyydellä. Sarakkeella B on laskettu viiden kukkivan krookuksen kukkimistodennäköisyydet. Vastaavasti sarakkeella C on neljän krookuksen kukkimistodennäköisyys jne. Sarakkeella H on kaikkien tapausten summa, joka on tietenkin 1 eli 100 %. Sarakkeella I on neljän ja viiden krookuksen kukkimistodennäköisyyksien summa.

Solun A18 perusteella etsitty todennäköisyys on 84 %.

Tässä on vielä (ratkaisutiedosto).

Vastaus: Krookuksen kukkimistodennäköisyys pitäisi olla noin 84 % jotta neljä tai viisi krookusta kukkii yli 80 %:n todennäköisyydellä.

MAA10, Todennäköisyys ja tilastot

Sisältö

Binomitodennäköisyys