MAA10PM: Geometrinen ja tilastollinen todennäköisyys

Geometrinen ja tilastollinen todennäköisyys

Geometrinen todennäköisyys

Klassisen todennäköisyyden periaatetta voidaan soveltaa hyvin äärellisissä perusjoukon tapauksissa. Jos heitetään esimerkiksi tikkaa, mahdollisten tapausten lukumäärä on ääretön. Tällaisen ilmiön todennäköisyyden laskentaan kannattaa soveltaa geometrista todennäköisyyttä. Geometrista todennäköisyyttä voidaan soveltaa pituuteen, pinta-alaan tai tilaavuuteen liittyvissä todennäköisyystehtävissä.

Geometrinen todennäköisyys saadaan laskettua, kun halutun tapauksen $A$ pinta-ala jaetaan koko perusjoukon $E$ pinta-alalla:

$P(A) = \frac {M(A)}{M(B)}$

Huomautus: Vastaavasti geometrista todennäköisyyttä voidaan soveltaa pituuksien ja tilavuuksien suhteena.

Esimerkki 1: Tikanheitto

Tikanheitossa heitetään tikkaa tikkatauluun. Pelin idea on osua tikalla mahdollisimman lähelle numeroa 10, mikä on pyöreän tikkataulun keskellä. Numeron kymmenen alueelta saa kymmenen pistettä, numeron yhdeksän alueelta saa yhdeksän pistettä ja niin edespäin. Oletetaan, että eräs pelaaja osuu joka heittokerralla pistealueen $6 - 10$ sisälle. Mikä on todennäköisyys, että pelaaja heittää yksittäisen tikan numeroon $8$ ? Voidaan olettaa, että numero kymmenen on $1$ cm halkaisijaltaan ja muiden numeroiden kehän leveys kukin $1$ cm.

Kuva 1. Tikkataulun mallinnus

Ratkaisu:

Kuvassa 1 pistealueen 8 säde on $r_{8} =\frac{5}{2}$ ja sen pinta-ala $A_{8} =\pi \left(\frac{5}{2} \right)^{2} -\pi \left(\frac{3}{2} \right)^{2} =4\pi$

Koko pistealueen $6 - 10$ pinta-ala on $A_{6-10} =\pi \left(\frac{9}{2} \right)^{2} =\frac{81}{4} \pi$

Nyt geometrisen todennäköisyyden mukaisesti pistealueen 8 osumatodennäköisyys on:

$p_{8} = \frac{16}{81}$ $\approx 19,7 \%$

Vastaus: Pelaaja heittää yksittäisen tikan numeroon 8 noin 20 %:n todennäköisyydellä.

Tilastollinen todennäköisyys

Jos tarkastellaan satunnaismuuttujana arpakuution silmälukua, niin voidaan tilastoida eri silmälukujen esiintymistä. Tällaiselle tilastolle saadaan edelleen muodostettua frekvenssijakauma. Kun tilastoitujen heittojen silmälukujen määrä nousee riittävän suureksi, niin on syytä olettaa, että kaikkien silmälukujen todennäköisyys lähenee kohti arvoa $\frac{1}{6}$ . Toisin sanoen tilastoitujen silmälukujen perusteella voidaan määrittää tietyn silmäluvun todennäköisyys tilastollisella todennäköisyydellä.

Tilastollinen todennäköisyys saadaan laskettua, kun tilastoidun tapauksen $A$ lukumäärän jaetaan koko perusjoukon havaintojen lukumäärällä $E$ :

$P(A) = \frac{N(A)}{N(E)}$

Esimerkki 2: Ruotsin kirjoitukset

Alla olevassa tilastossa on esitetty ruotsin kielen ylioppilaskokeen arvosanajakauma keväällä 2015.

(Haettu 19.11.2019) https://www.ylioppilastutkinto.fi/images/sivuston_tiedostot/stat/FS2017A2015T4002.pdf

Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu ruotsin kirjoittaja saa arvosanaksi E:n tai L:n?

Ratkaisu:

Suoraan luettuna tilastosta:

$P(E \ \ tai \ \ L) = 14,7 \ \% + 4,8 \ \% = 19,5 \ \%$

Arvosanojen frekvenssien avulla:

$N(E)=1062$

$N(L)=345$

$N("kaikki")=7215$

$P(E \ \ tai \ \ L)=\frac{N\left(E\right) + N\left(L\right)}{N\left("kaikki"\right)} = \frac{1062 + 345}{7215}=\frac{1407}{7215} \approx 0,1950...$

Vastaus: satunnaisesti valittu ruotsin kirjoittaja saa arvosanaksi E:n tai L:n noin 19,5 %:n todennäköisyydellä.

Viimeksi muutettu: torstai 16. tammikuu 2020, 14.29

MAA10, Todennäköisyys ja tilastot

Sisältö

Geometrinen ja tilastollinen todennäköisyys

Geometrinen ja tilastollinen todennäköisyys

Geometrinen todennäköisyys

Esimerkki 1: Tikanheitto

Tilastollinen todennäköisyys

Esimerkki 2: Ruotsin kirjoitukset