MAA10PM: Teoreema

Teoreema

Todennäköisyysavaruudet

Venn-diagrammi on hyödyllinen työväline, kun haluamme havainnollistaa eri joukkojen tai käsitteiden välisiä suhteita. Sen ja joukko-opin perusteiden avulla todennäköisyyslaskentaa on helpompi hahmottaa. (ks. https://fi.wikipedia.org/wiki/Venn-diagrammi) Tässä teoriaosiossa esitellään muutamia joukko-operaatioita, joita käytetään Venn-diagrammin kuvauksissa.

Venn-diagrammi

Venn-diagrammi on hyödyllinen työväline, kun haluamme havainnollistaa eri joukkojen tai käsitteiden välisiä suhteita. Sen ja joukko-opin perusteiden avulla todennäköisyyslaskentaa on helpompi hahmottaa. (ks. https://fi.wikipedia.org/wiki/Venn-diagrammi) Esimerkiksi yllä olevassa diagrammissa on esitetty alkiot {a, b, c, d}, jotka tässä tapauksessa muodostavat koko joukon E = {a, b, c, d}. Jos joukko A = {a, c}, niin voimme sanoa, että osajoukko $A\subset E$ . ( Joukko $A$ sisältyy joukkoon $E$ .)

Seuraavissa teorialaatikoissa on esitetty muutamia merkintöjä, miten eri lukujoukkojen välisiä suhteita voidaan merkitä.

Sisältyy joukkoon:

Esimerkiksi oheisessa diagrammissa on esitetty alkiot {a, b, c, d}, jotka tässä tapauksessa muodostavat koko joukon E = {a, b, c, d}. Jos joukko A = {a, c}, niin voimme sanoa, että osajoukko $A\subset E$ . ( Joukko $A$ sisältyy joukkoon $E$ .)

Yhdiste eli unioni U:

$A\cup B=\left\{x\in E | x\in A\; tai\; x\in B\right\}$

Yhdiste eli unionijoukkoon kuuluvat kaikki perusjoukon $E$ alkiot,

jotka kuuluvat joko joukkoon $A$ tai $B$ ja ovat täten tämän unionin alkioita.

Tässä kuvassa unioni on väritetyllä alueella.

Leikkaus:

$A\cap B = \left\{x\in E | x\in A\; ja\; x\in B\right\}$

Leikkausjoukkoon kuuluvat kaikki perusjoukon $E$ alkiot, jotka kuuluvat joukkoon $A$ (sininen vaakaviivoitus) ja $B$ (punainen pystyviivoitus) ovat tämän leikkausjoukon alkioita. Tässä kuvassa leikkaus on ruudullisella violetiksi väritetyllä alueella

Poislukien joukosta:

$A\backslash B = \left\{x\in E|x\in A\; ja\; x\notin B\right\}$

Poislukien joukosta ovat kaikki perusjoukon $E$ alkiot, jotka kuuluvat joukkoon $A$ mutta eivät joukkoon $B$ . Poislukien joukko on tässä kuvassa on siniseksi väritetyllä alueella.

Komplementti:

$\overline{A}$ , $\overline{A}\; on\; A:n$ komplementti.

$\overline{A} = E\backslash A = \left\{x\in E|x\notin A\right\}$

Siis kaikki joukon E alkiot jotka ovat alueen A ulkopuolella ovat A:n komplementteja.

Kuvassa A:n komplementti on valkoisella alueella.

Venn-diagrammilla voidaan helposti kuvata haluttua osaa koko joukosta.

Esimerkki 1: Venn-diagrammin käyttö

Laske $A\cap B$ ja A \ B, kun E = $\{$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 $\}$ , A = $\{$ 2, 4, 6, 8, 10 $\}$ ja B = $\{$ 4, 8 $\}$ . Piirrä tilannetta luonnehtiva kuva.

Ratkaisu:

$A\cap B = \left\{4,\, 8\right\}$

A \ B = $\{$ 2, 6, 10 $\}$

Edellisessä esimerkissä havaittiin, että joukossa $A\cap B$ oli yhteensä kaksi yhteistä alkiota. On äärimmäisen tärkeä hahmottaa tilanne, että samoja alkioita ei lasketa kahteen kertaan.

Summaperiaate:

Jos joukoilla $A$ ja $B$ on yhteisiä alkioita,

eli niiden leikkausjoukko $A\cap B$ $\ne$ $\varnothing$ .

Nyt alkioiden $A$ tai $B$ lukumäärä lasketaan:

$N(A\cup B) = N(A) + N(B) - N(A\cap B)$

Jos joukoilla $A$ ja $B$ ei ole yhteisiä alkioita,

eli $Jos\; A\cap B =$ $\varnothing$ , niin

$N(A\cup B) = N(A) + N(B)$

N on lyhenne sanasta Number (Numero).

Summaperiaatetta voidaan hyödyntää todennäköisyysavaruuksien hahmottamisessa. On tunnettua, että kuudella jaolliset luvut ovat jaollisia sekä luvulla 2 että 3.

Esimerkki 2: Positiiviset kahdella tai kolmella jaolliset kaksinumeroiset luvut

Lasketaan kahdella tai kolmella jaollisten positiivisten kaksinumeroisten kokonaislukujen määrä.

Ratkaisu:

Hahmotetaan tilanne:

Olkoon 2:lla jaollisia ovat luvut A = {10, 12, 14, 16, …, 96, 98}

Olkoon 3:lla jaollisia ovat luvut B = {12, 15, 18, …, 96, 99}

Olkoon 6:lla jaollisia luvut {12, 18, …, 90, 96}

Kaksinumeroisia kahdella jaollisia positiivisia kokonaislukuja on seuraavasti:

Olkoon $a_{1} = 10$ ja $a_{n} = a_{1} + \left(n - 1\right)2$
Kun $a_{n} = 98$ , niin $a_{1} + (n - 1)2 = 98$

$10 + (n - 1)2 = 98$ , josta $n=45$

Kaksinumeroisia kolmella jaollisia positiivisia kokonaislukuja on seuraavasti: Olkoon $a_{1} = 12$ ja $a_{n} = a_{1} + \left(n - 1\right)3$

Kun $a_{n} = 99$ , niin $a_{1} + (n - 1)3 = 99$
$12+\left(n - 1\right)3 = 99$ , josta $n = 30$

Kaksinumeroisia kuudella jaollisia positiivisia kokonaislukuja on seuraavasti: Olkoon $a_{1} = 12$ ja $a_{n} = a_{1} +\left(n - 1\right)6$

Kun $a_{n} = 96$ , niin $12 +\left(n - 1\right)6 = 96$
$12 + \left(n - 1\right)6 = 96$ , josta $n = 15$

Yhteenveto:

$N(A$ tai $B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B) =$ $45 + 30 - 15 = 60$

Vastaus: Kahdella tai kolmella jaollisia positiivisia kaksinumeroisia kokonaislukuja on siis 60.

Esimerkissä 2 käytettiin aritmeettisen lukujonon ominaisuuksia. Alla olevassa teoriassa on lyhyt kertaus MAY1-kurssilta, jossa opeteltiin lukujonoja.

Aritmeettinen lukujono: Lukujono $\{ a_{1} , a_{2} , a_{3} , \cdot \cdot \cdot , a_{n} \}$ on aritmeettinen, jos $a_{n} - a_{n-1} = d$ . Siis, jos lukujonon kahden peräkkäisen termin välinen erotus eli differenssi $d$ on vakio, niin lukujono on aritmeettinen.

Aritmeettisen lukujonon yleisen termi määritellään seuraavasti:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ , missä $n = 1, 2, 3, ...$

Esimerkki 3: Positiiviset kahdella tai kolmella jaolliset kaksinumeroiset luvut (LO)

Määritä kahdella tai kolmella jaollisten positiivisten kaksinumeroisten kokonaislukujen määrä LibreOfficen Calcissa.

Ratkaisu:

Libre Officen Calc:ssa käytetään funktioita JAKOJ, LASKE.A ja LASKE.JOS

Aukaise Aloitustietosto LibreOfficen Calcissa

Siis $N(A$ tai $B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B) =$ $45 + 30 - 15 = 60$

Vastaus: Kahdella tai kolmella jaollisia positiivisia kaksinumeroisia kokonaislukuja on siis 60.

Voit halutessasi tutkia myös ratkaisutiedostoa.

Toisinaan kahden eri joukon alkioista halutaan muodostaa erilaisia yhdistelmiä. Erilaisten yhdistelmien muodostaminen todennäköisyyslaskennassa on tärkeää, että kaikki erilaiset alkeistapaukset saadaan otettua huomioon. Toisinaan tällaisia tulojoukkoja on hyödylistä mallintaa. Piirto-ohjelman avulla mallintaminen usein selkiyttää sitä, mitä ollaan laskemassa.

Tulojoukko: Kun tarkastellaan joukkoja A ja B ja tarkoituksena on muodostaa niiden tulojoukko. Se saadaan kun jokainen joukon A alkio kerrotaan joukon B alkiolla ja tuloksena saadaan järjestettyjen parien $(x, y)$ joukko.

$A$ x $B =$ $\{$ $(x, y)$ $|$ $x\in A\$ ja $y\in B\}$

Esimerkki 4: Tulojoukko

Olkoon joukko $A = {1, 2, 3}$ Määritä tulojoukko $A$ x $A$ . Muodosta siis kaikki mahdolliset lukuparit, jotka voidaan muodostettua joukosta $A$ .

Ratkaisu:

Muodostetaan järjestettyjen parien joukko $A$ x $A =$ $\{$ $(x, y)$ $|$ $x\in A\$ ja $y\in A\}$

$A$ x $A =$ $\{$ $(1 , 1)$ , $(1 , 2)$ , $(1 , 3)$ , $(2 , 1)$ , $(2 , 2)$ , $(2 , 3)$ , $(3 , 1)$ , $(3 , 2)$ , $(3 , 3)$ $\}$

Esimerkki 5: Arpakuutio koordinaatistossa (GG)

Kun heitetään kahta painottamatonta arpakuutiota, niin saadaan järjestettyjen parien joukko $A$ x $A =$ $\{$ $(x, y)$ $|$ $x\in A\$ ja $y\in A\}$ . Arpakuution silmäluvut ovat perinteisesti $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Piirrä koordinaatistoon GeoGebralla tai vastaavalla piirtoohjelmalla kohden arpakuution lukuparit, missä silmäluvut ovat yhtä suuret.

Ratkaisu:

Arpakuution lukuparit siis ovat $A$ x $A =$ $\{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) \}$

Kirjoita GeoGebran syöttökenttään listana lukuparit muodossa: {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

GeoGebrassa saadaan kuva:

Kaikkien samansuuruisten lukuparien lista:

Viimeksi muutettu: torstai 13. helmikuu 2020, 13.59

MAA10, Todennäköisyys ja tilastot

Sisältö

Teoreema

Teoreema

Todennäköisyysavaruudet

Sisältyy joukkoon:

Yhdiste eli unioni U:

Leikkaus:

Poislukien joukosta:

Komplementti:

Esimerkki 1: Venn-diagrammin käyttö

Ratkaisu:

$A\cap B = \left\{4,\, 8\right\}$

A \ B = $\{$ 2, 6, 10 $\}$

Summaperiaate:

Esimerkki 2: Positiiviset kahdella tai kolmella jaolliset kaksinumeroiset luvut

Esimerkki 3: Positiiviset kahdella tai kolmella jaolliset kaksinumeroiset luvut (LO)

Esimerkki 4: Tulojoukko

Esimerkki 5: Arpakuutio koordinaatistossa (GG)

MAA10, Todennäköisyys ja tilastot

Sisältö

Teoreema

Todennäköisyysavaruudet

Sisältyy joukkoon:

Yhdiste eli unioni U:

Leikkaus:

Poislukien joukosta:

Komplementti:

Esimerkki 1: Venn-diagrammin käyttö

Ratkaisu:

A \ B = 2, 6, 10

Summaperiaate:

Esimerkki 2: Positiiviset kahdella tai kolmella jaolliset kaksinumeroiset luvut

Esimerkki 3: Positiiviset kahdella tai kolmella jaolliset kaksinumeroiset luvut (LO)

Esimerkki 4: Tulojoukko

Esimerkki 5: Arpakuutio koordinaatistossa (GG)

A \ B = $\{$ 2, 6, 10 $\}$