MAA10PM: Teoreema

Teoreema

Diskreetti satunnaismuuttuja

Matematiikassa sanalla diskreetti tarkoitetaan erillistä ja epäjatkuvaa. Todennäköisyyslaskennassa diskreetti satunnaismuuttuja $\underline{x}$ saa äärellisen määrän eri epäjatkuvia lukuarvoja. Lantinheitossa satunnaismuuttuja $\underline{x}$ voi saada arvot {"kruunu", "klaava"}. Vastaavasti arpakuution heitossa satunnaismuuttuja $\underline{x}$ voi saada arvot {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Satunnaismuuttuja $\underline{x}$ on satunnaisesti, umpimähkään valittu havaintoaineiston arvo (vertaa tuntematon x).

Diskreetti jakauma

Diskreetissä jakaumassa lasketaan kaikille satunnaismuuttujien arvoille todennäköisyydet. Jakauma esitetään usein kaaviona. Kun kaikkien satunnaismuuttujien vastaavat todennäköisyydet lasketaan yhteen saadaan 100 % tai 1.

Diskreetissä jakaumassa satunnaismuuttujalla $\underline{x}$ on alkeistapaukset $x_{k}$ . Niiden todennäköisyydet ovat $P_{k} = ($ $\underline{x}$ $=$ $x_{k} )$ , missä $k$ saa arvot $\{ {1}, {2}, {3}, \cdot \cdot \cdot , {n} \}$ . Tämän diskreetin satunnaismuuttujan kaikkien todennäköisyyksien summa on: $P_{1} + P_{2} + P_{3} + \cdot \cdot \cdot + P_{n} = 1$ , eli 100 % .

Esimerkki 1. Säännöllisen tetraedrin muotoinen noppa

Mitä satunnaismuuttujan arvoja voi säännöllisen tetraedrin muotoinen noppa saada ja mikä on näiden arvojen todennäköisyyksien summa?

(CC-BY, Pixabay)

Ratkaisu:

Kun säännöllisen tetraedrin muotoista noppaa heitetään kerran, niin satunnaismuuttuja $\underline{x}$ voi saada arvot $\{ x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3, x_{4} = 4 \}$ .

Tetraedrin muotoisen nopan silmäluvun yksi todennäköisyys on $P_{1} =P\left(\underline{x}=x_{1} \right)=\frac{1}{4}$ .

Vastaavasti $P_{2} =P_{3} =P_{4}=\frac{1}{4}$ .

Näiden todennäköisyyksien summa on $P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} = 1$ .

Diskreetin jakauman tunnuslukuja

Diskreetille jakaumalle määritettäviä tunnuslukuja ovat odotusarvo ja keskihajonta. Odotusarvo $E\underline{x}$ tai $\mu$ tarkoittaa tutkittavan ilmiön todennäköisintä ja odotettavissa olevaa arvoa. Odotusarvo on yhtä suuri kuin keskiarvo $\overline{x}\quad tai\quad \mu$ . Keskihajonta $D\underline{x}$ tai $\sigma$ ja sen suuruus kuvaa, miten havaintoaineiston arvot ovat ryhmittyneet keskiarvon ympärille.

Diskreetissä jakaumassa satunnaismuuttujan $\underline{x}$ arvojoukko on $\{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot , x_{n} \}$ . Satunnaismuuttujaa vastaavat todennäköisyydet ovat $\{ p_{1}, p_{2}, p_{3}, ... , p_{n} \}$ .

Satunnaismuuttujan $\underline{x}$ odotusarvon $E\underline{x}$ tai $\mu$ laskemiseen käytetään kaavaa:

$E\underline{x}$ = $\mu =\sum _{k=1}^{n}x_{k} p_{k}$ = $x_{1} p_{1} +x_{2} p_{2} +\cdots +x_{n} p_{n}$

Satunnaismuuttujan $\underline{x}$ keskihajonta $D\underline{x}$ tai $\sigma$ laskemiseen käytetään kaavaa:

$D\underline{x}$ = $\sigma =\sqrt{\sum _{k=1}^{n}p_{k} \left(x_{k} -\mu \right)^{2} }$ $=$ $\sqrt{p_{1} \left(x_{1} -\mu \right)^{2} +p_{2} \left(x_{2} -\mu \right)^{2} +\cdots +p_{n} \left(x_{n} -\mu \right)^{2} }$

Keskihajonnan neliö $\sigma^{2}$ on varianssi.

Alla on muutamia esimerkkejä, miten diskreeteistä jakaumista lasketaan tunnuslukuja.

Esimerkki 2. Tetraedrin muotoisen nopan odotusarvo ja keskihajonta

Lasketaan säännöllisen tetraedrin muotoisen nopan silmäluvun odotusarvo ja keskihajonta.

Ratkaisu:

Nyt satunnaismuuttujana $\underline{x}$ on tetraedrin muotoisen nopan silmäluvut: $\{ x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3, x_{4} = 4 \}$

Lasketaan ensin säännöllisen tetraedrin muotoisen nopan silmälukujen keskiarvo:

$\overline{x}=\frac{1+2+3+4}{4}=2,5$

Jokaisen silmäluvun todennäköisyys on $\frac{1}{4}$ , joten sen odotusarvo on:

$E\underline{x}=\mu =\sum _{k=1}^{n}x_{k} p_{k} =x_{1} p_{1} +x_{2} p_{2} +\cdots +x_{4} p_{4}$ = $1\cdot \frac{1}{4} +2\cdot \frac{1}{4} +3\cdot \frac{1}{4} +4\cdot \frac{1}{4}=$ $\frac{10}{4}=2 \frac{1}{2}$

Keskihajonta lasketaan seuraavasti:

$D\underline{x}$ = $\sigma =\sqrt{\sum _{k=1}^{n}p_{k} \left(x_{k} -\mu \right)^{2} }$ = $\sqrt{\frac{1}{4} \left(1-\frac{5}{2} \right)^{2} +\frac{1}{4} \left(2-\frac{5}{2} \right)^{2} +\frac{1}{4} \left(3-\frac{5}{2} \right)^{2} +\frac{1}{4} \left(4-\frac{5}{2} \right)^{2} } =$

$\sqrt{\frac{1}{4} \left(-\frac{3}{2} \right)^{2} +\frac{1}{4} \left(-\frac{1}{2} \right)^{2} +\frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\frac{1}{4} \left(\frac{3}{2} \right)^{2} } =$ $\sqrt{\frac{20}{16}} =\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,118$

Vastaus: Tetraedrin muotoisen nopan silmäluvun odotusarvo on 2,5 ja keskihajonta noin 1,12.

Esimerkki 3: Arpajaiset

Erään liikuntaseuran kannatusyhdistys aikoo pitää arpajaiset. Arpoja on suunniteltu painettavaksi 1000 arpaa. Tavoitteena on, että joka kymmenes arpa voittaa. Arpajaisten voittoluokat ovat 100 €, 50 € ja 10 €. Vastaavassa järjestyksessä niiden suhteet ovat 2 : 3 : 5. Mikä on myytävän arvan voiton odotusarvo, jos arpoja myydään 10 €:n hinnalla?

Ratkaisu:

Nyt arvan voittoluokat ja todennäköisyydet ovat:

Voittoluokka	100 €	50 €	10 €
	$\frac{2}{100}$	$\frac{3}{100}$	$\frac{5}{100}$

Arvan odotusarvo on $E\underline{x} =$ $\frac{2}{100} \cdot 100 + \frac{3}{100} \cdot 50 + \frac{5}{100} \cdot 10 - 10 =$ $2 + 1,5 + 0,5 - 10 = -6$

Huomaa, että odotusarvosta täytyy vähentää 10 € eli arvan ostohinta.

Vastaus: Arvan odotusarvo on -6 €.

Esimerkki 4: Kaksi säännöllisen tetraedrin muotoista noppaa

Säännöllisen tetraedrin muotoista noppaa heittämällä voi saada silmäluvut 1,2,3 tai 4. Kaikki silmäluvut ovat yhtä todennäköisiä. Pelaaja heittää yhtä aikaa kahta säännöllisen tetraedrin muotoista noppaa ja laskee silmälukujen summan. Käytetään taulukkolaskentaohjelmaa ratkaisussa.

a) Määritä kaikkien mahdollisten silmälukujen summien todennäköisyydet.

b) Määritä silmälukujen summan odotusarvo.

c) Määritä silmälukujen summan keskihajonta.

d) Piirrä todennäköisyysjakaumasta vielä pylväsdiagrammi.

Ratkaisu:

Halutessasi voit ottaa tästä (aloitustiedoston).

a) Määritä kaikkien mahdollisten silmälukujen summien todennäköisyydet.

Alla olevassa kuvassa lasketaan kahden säännöllisen tetraedrin muotoisen nopan summat. Huomaa, että solussa B4 lasketaan ensimmäinen summa. Kun lisätään dollarit ($)-merkki A:n molemmille puolille, niin summaus voidaan kahvata eli kopioida koko riville. Kahvauksesa kursori siirretään solun oikeaan alakulmaan, jolloin näyttöön ilmaantuu + -merkki. Tässä toimituksessa otetaan hiiren ykköspainikkeella kiinni + -merkistä ja vedetään kaava seuraaviin soluihin. Koko rivin kahvaus voidaan toimittaa myös alaspäin kaikille riveille.

Alla olevassa kuvassa frekvenssien laskemiseksi käytetään Laske.Jos -funktiota.

Funktioon kannattaa lisätä vielä dollari ($)-merkit, niin sama kaava voidaan kopioida alaspäin.

Summien todennäköisyydet saadaan laskettua alla olevan kuvan mukaisesti.

Alla olevassa kuvassa on esitetty kaikkien mahdollisten silmälukujen summien todennäköisyydet:

b) Määritä silmälukujen summan odotusarvo.

Odotusarvo saadaan laskettua, kun summataan sarake x_kp_k.

Odotusarvo on $\mu = 5$

c) Määritä silmälukujen summan keskihajonta.

Alla olevassa kuvassa on laskettu turkoosina olevien solujen puuttuva tiedot. Kun on summattu oikeanpuoleisimman sarakkeen tulokset, niin tuloksesta otetaan neliöjuuri arvosta 2,5 neliöjuuri -funktiolla.

Tässä on valmiina koko laskentataulukko:

Tässä on tehtävän (Ratkaisutiedosto).

Vastaus: Kahden säännöllisen tetraedrin muotoisen nopan todennäköisyydet summilla ovat $2: \frac {1}{16}$ , $3: \frac {2}{16}$ , $4: \frac {3}{16}$ , $5: \frac {4}{16}$ , $6: \frac {3}{16}$ , $7: \frac {2}{16}$ , $8: \frac {1}{16}$ . Odotusarvo on $\mu = 5$ ja keskihajonta $\sigma \approx 1,58$ .