MAA10PM: Teoreema

Teoreema

Kombinatoriikassa on tärkeää hahmottaa, millaisesta osajoukon valinnasta on kysymys. Onko mielenkiintoa permutoida valittua osajoukkoa vai riittääkö vain, että saadaan osajoukko valittua. Työkaluina voimme soveltaa k-kombinaatiota ja k-permutaatiota, ne ovat esitetty seuraavasti:

k-kombinaatio:

k-kombinaatiolla tarkoitetaan sitä, kuinka monella eri tavalla k alkiota voidaan valita n alkioiden joukosta. Tässä ei kiinnitetä huomiota osajoukon järjestykseen. k -kombinaation laskemiseen käytetään kaavaa:

$\left (\begin{matrix}n\\ k\end{matrix} \right )$ $= \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$ , missä $0 \le k \le n$ ja

$n =$ alkioiden kokonaislukumäärä ja $k =$ osajoukon alkioiden lukumäärä ( $k \le n$ ). Merkintä $\left (\begin{matrix}n\\ k\end{matrix} \right )$ luetaan " $n$ yli $k$ ".

k-permutaatio:

k-permutaatiolla tarkoitetaan sitä, kuinka monelle eri tavalla k alkiota voidaan valita n alkioiden joukosta ottaen huomioon osajoukkojen erilaiset järjestykset.

k-permutaatioiden laskemiseen käytetään kaavaa:

$\left (\begin{matrix}n\\ k\end{matrix} \right )$ $\cdot k!$ $= \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$ $\cdot k!$ = $\frac{n!}{(n - k)!}$ , missä $0 \le k \le n$ .

Seuraavissa esimerkeissä esitellään k-kombinaation ja k-permutaation käytön eroja.

Esimerkki 1: Postimerkit kaavoilla

Tarkastellaan introtehtävän 7 postimerkkien valintoja vielä k-kombinaation ja k-permutaation avulla.

a) Monellako eri tavalla seitsemän postimerkin joukosta voidaan valita kolme postimerkkiä?

b) Kuinka monella eri tavalla seitsemän postimerkin joukosta voidaan muodostaa erilaisia kolmen postimerkin rivejä? (Käytetään nyt k-kombinaatiota, k-permutaatiota ja permutaatiota)

Ratkaisu:

a) k-kombinaatiolla: $n = \binom{7}{3} =$

$\frac {7!}{2! \cdot (7 - 5)!} = 35$ eri tavalla.

b) I-tapa: $n = \frac {7!}{(7 - 5)!} = 210$ eri tavalla.

II-tapa: $n = \binom{7}{3} \cdot 3! =$ 210 eri tavalla.

Vastaus: Seitsemästä postimerkistä voidaan valita 3 postimerkkiä 35 eri tavalla ja jos niiden eri järjestyksiin kiinnitetään huomiota, niin 210 eri tavalla.

Esimerkki 2: Osajoukko

Muodostetaan joukon $\{ a, b, c, d \}$ a) 2-permutaatioiden lukumäärä b) 2-kombinaatioiden lukumäärä

Ratkaisu:

a)Muodostetaan kaikki mahdolliset 2-permutoidut parit.

2-permutaatioita ovat: $(a, b), (a, c) , (a, d)$ , $(b, a) , (b, c) , (b, d)$ , $(c, a) , (c, b) , (c, d)$ , $(d, a) , (d, b) , (d, c)$ yhteensä 12 kpl

Ratkaisu 2:Sovelletaan tuloperiaatetta:

Ensimmäinen alkio voidaan valita $4$ :llä eri tavalla ja toinen alkio voidaan valita $3$ :lla eri tavalla.

Siis $n = 4 \cdot 3 = 12$

Ratkaisu 3:Sovelletaan k - permutaatiokaavaa:

$n = \frac{4!}{(4 - 2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 12$

b)Joukon {a, b, c, d} 2-kombinaatiot ovat: (a, b), (a, c) , (a, d) , (b, c) , (b, d) ja (c, d) Yhteensä 6 kpl.

Ratkaisu 2:Sovelletaan k - kombinaatiokaavaa:

$\left(\begin{array}{l} {4} \\ {2} \end{array}\right)$ = $\frac{4!}{2! \cdot (4 - 2)!}$ $=$ $6$

Vastaus: 2-permutaatioiden lukumäärä on 12 ja 2-kombinaatioiden lukumäärä on 6.

Esimerkki 3: Kananmunat kotelossa

Kananmunakotelossa on kuusi eriväristä kanamunaa. Kuinka monella eri tavalla voidaan valita 4 kananmunaa?

Ratkaisu:

$n = \left(\begin{array}{l} {6} \\ {4} \end{array}\right)$ = $\frac{6!}{4! \cdot (6 - 4 )!}$ $=$ $15$

Tämä saadaan laskettua CAS -laskimen nCr-toiminnolla.

Vastaus: Kuuden erivärisen kananmunan joukosta saadaan valittua neljä kananmunaa 15 eri tavalla.

Esimerkki 4: Tietoimikunnankunnan hallitus

Kuinka monella eri tavalla 10 tieosakkaan joukosta voidaan valita puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja?

Ratkaisu:

$n = \frac{10!}{(10 - 4 )!}$ $=$ $\frac{10!}{6!}$ $=$ $5040$ eri vaihtoehtoa.

Ratkaisu 2:

$n = \left(\begin{array}{l} {10} \\ {4} \end{array}\right) \cdot 4!$ $=$ $5040$ vaihtoehtoa.

Tämä saadaan laskettua CAS -laskimen nPr-toiminnolla

Ratkaisu 3:

Tuloperiaatteen mukaisesti $n = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$

Vastaus: Siis 10 tieosakkaan joukosta voidaan valita puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja 5040 eri tavalla.

Esimerkki 5: Muumipappa

Kuinka monta erilaista yhtä pitkää sanaa voit muodostaa sanasta MUUMIPAPPA?

Ratkaisu:

Sanassa MUUMIPAPPA on yhteensä 10 kirjainta, eli 10 kirjaimella voidaan muodostaa periaatteessa 10! erilaista sanaa.

Sanassa on kirjaimia seuraavasti $N(P) = 3$ , $N(U) = 2$ , $N(A) = 2$ , $N(M) = 2$ ja $N(I) = 1$ .

P-kirjaimen paikka voidaan valita $\left(\begin{array}{l} {10} \\ {3} \end{array}\right)$ eri tavalla.

Sen jälkeen M-kirjaimen paikka voidaan valita $\left(\begin{array}{l} {7} \\ {2} \end{array}\right)$ eri tavalla.

Sen jälkeen U-kirjaimen paikka voidaan valita $\left(\begin{array}{l} {5} \\ {2} \end{array}\right)$ eri tavalla.

Sen jälkeen A-kirjaimen paikka voidaan valita $\left(\begin{array}{l} {3} \\ {2} \end{array}\right)$ eri tavalla.

Kirjaimelle I ei jää kuin yksi vaihtoehto.

Nyt $n =$ $\left(\begin{array}{l} {10} \\ {3} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l} {7} \\ {2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l} {5} \\ {2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l} {3} \\ {2} \end{array}\right) \cdot 1$ = $75600$

Vastaus: MUUMIPAPPA sanasta voi siis muodostaa 75600 erilaista yhtäpitkää sanaa.

Seuraavissa kahdessa esimerkissä tarkastellaan, miten kombinatoriikkaa voidaan hyödyntää loton ja eurojackpotin järjestelmien voittojen määrää selvittäessä.

Esimerkki 6: Lotto

Suomalaisessa lotossa arvotaan seitsemän numeroa ja yksi lisänumero 40 numeron joukosta. Montako erilaista lottoriviä voidaan muodostaa? Eräs asiakas pelasi 9 ruksin järjestelmää. Montako 7 ruksin perusruudukkoa se vastaa? Arvonnan jälkeen asiakas totesi, että järjestelmäruudukossa on 6 oikein tulos. Montako kertaa järjestelmän perusteella on 5 oikein tuloksia? (ks.https://www.veikkaus.fi/fi/lotto)

Ratkaisu:

$\left(\begin{array}{l} {40} \\ {7} \end{array}\right)$ $=$ $18 643 560$

Järjestelmäruudukko numeroituna:

$\binom{9}{7} = 36$ , eli 9 ruksin järjestelmä vastaa 36 eri 7 ruksin perusruudukkoa.

Siniset numerot edustavat oikein arvattuja lottonumeroita ja punaiset väärin arvattuja lottonumeroita.

Lasketaan se montako kertaa löytyy 5-oikein tulos: $n = \left(\begin{array}{l} {6} \\ {5} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l} {3} \\ {2} \end{array}\right)$ = $6 \cdot 3 = 18$

Vastaus: 18,643560 miljoonaa riviä, 9 ruksin järjestelmä vastaa 36 eri 7 ruksin perusruudukkoa ja 9-ruksin järjestelmäruudukossa on 18 kertaa 5 oikein tulos.

Esimerkki 7: Eurojackpot

Eurojackpot muistuttaa suomalaista lottoa. Siinä arvotaan 50 numeron joukosta 5 päänumeroa, ja erillisten tähtinumeroiden joukosta, joita on 10, kaksi numeroa. Montako erilaista Eurojackpotriviä voidaan muodostaa? Jos asiakas pelaa järjestelmää, jossa on kuusi päänumeroa ja 4 tähtinumeroa, niin montako perus Eurojackpot-perusruudukkoa se vastaa? (ks.https://www.veikkaus.fi/fi/eurojackpot)

Ratkaisu:

Nyt $n = \left(\begin{array}{l} {6} \\ {5} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l} {4} \\ {2} \end{array}\right)$

$n = 6 \cdot 6 = 36$

Vastaus: Järjestelmä vastaa 36 eri perusruudukkoa.

Viimeksi muutettu: perjantai 1. marraskuu 2019, 08.44

MAA10, Todennäköisyys ja tilastot

Sisältö

Teoreema

Teoreema

Esimerkki 1: Postimerkit kaavoilla

Esimerkki 2: Osajoukko

Esimerkki 3: Kananmunat kotelossa

Kananmunakotelossa on kuusi eriväristä kanamunaa. Kuinka monella eri tavalla voidaan valita 4 kananmunaa?

Esimerkki 4: Tietoimikunnankunnan hallitus

Esimerkki 5: Muumipappa

Esimerkki 6: Lotto

Esimerkki 7: Eurojackpot