Todennäköisyyslaskennassa joudutaan usein selvittämään, kuinka monella eri tavalla saadaan muodostettua erilaisten joukkojen lukumääriä. Työkaluina käytetään  permutaatiota, kertomaa ja tuloperiaatetta.

Tuloperiaate

Kun halutaan muodostaa joukon A ja B alkioista erilaisia vaihtoehtoja, niin käytetään tuloperiaatetta.

Tällä periaatteella voidaan muodostaa joukkojen A ja B alkioista erilaiset vaihtoehdot.

 

Olkoon joukon A alkioiden lukumäärä on  ja joukon B alkioiden lukumäärä .

Kaikkien joukon A:sta ja B:stä valittujen yhdistelmien lukumäärä on  x  .

Jos kolmen joukon A, B ja C alkiosta muodostetaan erilaisia kombinaatioita, niin niiden lukumäärä on

 x  x  

Tätä tuloperiaatetta voidaan yleistää myös useammalle perusjoukolle.

Esimerkki 1: Linnean karderoopi

Linnealla on vaatekaapissa 10 erilaista paitaa, 8 erilaista housuparia ja 7 erilaista takkia. Jos hän haluaa pukeutua kouluun joka päivä eri tavalla, niin montako viikkoa hän voi näin menetellä?

Ratkaisu:

Tuloperiaatteen mukaisesti eri asukokonaisuuksia on 

Viikossa on keskimäärin 5 koulupäivää, joten: 

Vastaus: Linnealla on 560 eri asuvaihtoehtoa ja 112 viikon ajan hän voi siis mennä kouluun erilaisella asuyhdistelmällä.

Esimerkki 2: Vakioveikkauspeli

Vakioveikkauspelissä on 13 eri kohdetta ja kussakin kohdassa veikataan joko 1, X tai 2. Vakioveikkauspelissä yksi kohde on yleensä kytketty johonkin jalkapallo-otteluun, esimerkiksi Valioliigan tai Veikkausliigan otteluun. Numero yksi tarkoittaa kohteen kotivoittoa, X puolestaan tarkoittaa tasapeliä ja 2 vierasvoittoa, varsinaisen peliajan päätyttyä. (ks. https://www.veikkaus.fi/fi/vakio) Montako erilaista vakioveikkausriviä on olemassa?

Ratkaisu:

Olkoon yhden kohteen mahdolliset lopputulokset  {  }.

Siis 

Tuloperiaatteen mukaisesti 

Vastaus: Vakioveikkauspelissä on siis olemassa 1594323 erilaista riviä.

Permutaatio

Introtehtävässä havaittiin, että erilaiset yhden taalan setelit voidaan asettaa 720 eri järjestykseen. Todennäköisyyslaskennassa joudutaan usein selvittämään otosjoukon erilaisten järjestysten lukumääriä. Ensimmäinen seteli voitiin valita kuudesta eri vaihtoehdosta, toinen seteli voitiin valita viidestä eri vaihtoehdosta ja lopuksi viimeinen seteli voitiin valita täsmälleen yhdellä eri tavalla. Tuloperiaatteen nojalla näiden vaihtoehtojen tulo antoi erilaisten järjestysten kokonaismäärän. Tätä kutsutaan permutaatioksi.

Permutaatio ja kertoma:

Kun järjestetään n alkiota erilaisiin järjestyksiin, niin permutaatiolla saadaan kaikki variaatiot muodostettua.

Permutaatioiden lukumäärä saadaan laskettua  . 

tarkoittaa n:n -kertoma. 

 ...  , missä +

On määritelty, että

Esimerkki 3: Jono

Opiskelijakunnan kahviautomaatille suuntaa seitsemän oppilasta, 2 poikaa ja 5 tyttöä. Monellako eri tavalla he voivat asettua jonoon? Montako sellaista erilaista jonoa voi muodostua, jossa ensimmäinen ja viimeinen jonossa olijat ovat poikia?

Ratkaisu:

Seitsemästä opiskelijasta voi muodostua  erilaista jonoa.

Jos ensimmäinen jonossa olija on poika, niin se voidaan valita kahdella eri tavalla. Tytöt voivat järjestäytyä jonoon  eri tavalla.

Tuloperiaatteen mukaan sellaisia jonoja, jossa ensimmäinen ja viimeinen ovat poikia ja välissä kaikki tyttöjä on:

Vastaus: Ensimmäinen jono voidaan muodostaa 5040 eri tavalla ja jälkimmäinen 240 eri tavalla.

Esimerkki 4: Hetun generointi

Suomessa viranomaiset antavat kansalaisille henkilötunnuksen, joka 11 merkkiä pitkä ja on muotoa: ppkkvvynnnt, missä

  • ppkkvv on henkilön syntymäaika kaksinumeroisina lukuina päivä (pp), kuukausi (kk) ja vuosi (vv).
  • y on vuosisadan tunnus
    • 1900 luvulla syntyneillä se on -
    • 2000 luvulla syntyneillä se on A
  • nnn on yksilönumero, joka on välillä t on tarkistusmerkki, ja niitä on 31 kpl. (ks. https://fi.wikipedia.org/wiki/Henkil%C3%B6tunnus)
    • miehillä se on pariton ja naisilla parillinen

Monelleko samana päivänä syntyneille tyttövauvalle väestörekisterikeskuksella on antaa henkilötunnus (HETU)?

Ratkaisu:

Henkilötunnuksen loppuosa nnnt generoidaan seuraavasti. Numero-osa nnn on välillä [0, 899]:

Ensimmäinen n voidaan antaa 9 eri tavalla.

Toinen n voidaan antaa 10 eri tavalla.

Kolmas n voidaan antaa 5 eri tavalla.

Saamme summaksi 450. Tästä summasta täytyy kuitenkin vähentää kombinaatio . Joten osio nnn voidaan muodostaa 449 eri tavalla.

Huomaa, että tämä voidaan laskea myös aritmeettisen lukujonon avulla.

Olkoon  

Nyt  , josta 

Tällä lukualueen  luvut jaetaan luvulla  saadaan kaikki tarkistusmerkit 31 kpl. Tämä voidaan todeta LibreOfficen JAKOJ-funktion avulla.

Nyt 

Vastaus: Samana päivänä syntyneille tyttövauvoille on siis mahdollista antaa  erilaista loppuosaa.

  

Tuloperiaatteen mallintaminen puumallilla

Tuloperiaate voidaan hahmottaa myös nk. puumallilla. Hassua kyllä, että puu yleensä kasvaa ylöspäin, mutta matematiikassa puumalli piirretään tai muodostetaan alaspäin. Puumallilla hahmotettua tuloperiaatten mukaista tilanteessa pyritään kuvaamaan kaikki mahdolliset vaihtoehdot. Seuraava esimerkki perehdyttää puumallin käyttöön.

Esimerkki 5: Aku Ankan treffit

Meille tuttu sarjakuvahahmo Aku Ankka on kuuluisa siitä, miten epäonni vaanii häntä kaikkialla. Aku sai iltakahvihetkelle kutsun Iines Ankalta. Jotta kahvihetki olisi täysin onnistunut, on hyvä kerrata muutamat realiteetit. 1. Akun Auto voi olla täysin ehjä, rikki tai siitä loppu bensa kesken matkan. 2. Sää on Ankkalinnassa vaihteleva: saattaa sataa tai olla pouta. 3. Kitupiikki Roope voi tupsahtaa kesken kahvihetken Iineksen luo ja alkaa räyhäämään ja perimään Akulta velkoja tai sitten ei. Laadi puumalli erilaisista kahvihetkireiteistä. Montako onnistunutta kahvihetkireittä on Akulle tarjolla?

   

LÄHDE: HTTPS://PIXABAY.COM/FI/AKU-ANKKA-LELUT-LELU-ANTIQUE-663486/

Ratkaisu:

 Mallinnetaan osatapaukset:

Akun reitit voidaan mallintaa seuraavasti:

Vastaus: Voidaan päätellä, että kuusi reittiä johtaa mukavaan kahvihetkeen. Kaksi reittiä ovat täysin onnistuneet Akun kannalta. Kahdelta reitiltä Aku saapuu kastuneena. Ja kaksi reittiä johtaa onnistuneeseen kahvihetkeen, vaikka pieniä kolhuja olisikin matkalla.

LÄHDE: HTTPS://PIXABAY.COM/FI/YST%C3%A4V%C3%A4NP%C3%A4IV%C3%A4-SAINT-YST%C3%A4V%C3%A4NP%C3%A4IV%C3%A4-1971987/

Viimeksi muutettu: torstai 31. lokakuu 2019, 10.35