MAA10PM: Teoreema

Normaalijakauma

Normaalijakauman satunnaismuuttuja $\underline{x}$ on jatkuva, koska se saa kaikki reaalilukuarvot jollakin tietyllä välillä. Esimerkiksi mäkihypyn pituus, ulkoilman lämpötila, ihmisen ikä, ihmisen pituus ja paino ovat jatkuvia satunnaismuuttujia. Jos satunnaismuuttuja on jatkuva, niin sen jakaumakin on jatkuva. Normaalijakaumatehtävän alussa on hyvä tunnistaa, miten satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa (keskiarvo, keskihajonta), tästä käytetään merkintää: $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$ . Alkujaan normaalijakaumaa kutsuttiin Gaussin kellokäyräksi, koska vanhan kellon kaareva lasipinta muistuttaa normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajaa. Normaalijakauman kehitteli saksalainen fyysikko, matemaatikko ja tähtitieteilijä Johann Carl Friedrich Gauss (s. 1777 - k. 1855) (https://fi.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss). Satunnaismuuttuja on jatkuva, jos se saa kaikki mahdolliset reaalilukuarvot jollakin tietyllä välillä. Esimerkiksi lämpötila, ihmisen ikä, pituus, paino ja älykkyysosamäärä ovat hyviä esimerkkejä jatkuvasta satunnaismuuttujasta.

Tiheysfunktio

Tiheysfunktiolla kuvataan normaalijakaumaa, tätä kutsutaan myös verhokäyräksi. Introtehtävässä käytettiin GeoGebran todennäköisyyslaskuria ja sillä voidaan hahmottaa normaalijakaumaa. Alla olevassa kuvassa on esitetty mäkihyppääjätehtävän tiheysfunktio. Tässä $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ .

Kun normaalijakauman tehtävissä käytetään taulukoituja arvoja, niin jakauma täytyy normittaa ja silloin merkitään $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Normitetun normaalifunktion tiheysfunktio on $\phi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } e^{\frac{-x^{2} }{2} }$ , mikä kuvastaa normitetun normaalijakauman verhokäyrän kuvaajaa. Alla oleva kuva esittää normitettua normaalijakauman tiheysfunktiota.

Jos tekniset apuvälineet eivät ole käytössä, niin käytetään taulukoituja normaalijakauman kertymäfunktion arvoja. Tällöin satunnaismuuttujaa vastaavat arvot pitää normittaa. Normittaminen tarkoittaa sitä, että normitetussa normaalijakaumassa satunnaismuuttuja noudattaa normitettua normaalijakaumaa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$\mu =0$ ja keskihajonta $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

Normitetun normaalijakauman kertymäfunktion pinta-ala on yksi eli 100 %. Kertymäfunktion avulla voidaan laskea satunnaismuuttujaa vastaavia todennäköisyyksiä. Alla oleva kuva esittää normitettua normaalijakauman kertymäfunktiota ja sitä vastaavaa todennäköisyyttä satunnaismuuttujan arvoon 1 saakka. Tässä varjostettu alue muodostaa todennäköisyyden $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

$P(\underline {x}\le1)= \Phi (1)=0,8413$ .

$\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ . Tämän luvun introtehtävässä mäkihyppyjen pituudet noudattivat normaalijakaumaa, jossa $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ . On hyvä muistaa, että normitetussa normaalijakaumassa $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , eli keskiarvo $\mu =0$ ja keskihajonta $\sigma =1$ . Satunnaismuuttujaa vastaava arvo pitää siis normittaa, jotta taulukoituja arvoja voidaan käyttää.

Normitus

Jos $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$

niin $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Kertymäfunktio

Kun satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa, niin $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu ,\sigma \right)$ . Normaalifunktion kertymäfunktio on muotoa $\Phi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int _{-\infty }^{x}e^{\frac{-t^{2} }{2} } dt$ ja sen avulla voidaan määrittää kertynyttä satunnaismuuttujan todennäköisyyttä miinus äärettömästä arvoon x saakka.

Kertymäfunktion kaavoja

Jos satunnaismuuttuja $\underline{x}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ , niin:	$P\left(\underline{x}\le a\right)=\Phi \left(a\right)$
	$\Phi \left(-a\right)=1-\Phi \left(a\right)$

Esimerkki 1, Mäkihyppääjä

Yksi tunnetuimmista talviurheilupaikoista lienee Oslossa sijaitseva Holmenkollen. Eräs urheilutoimittaja oli listannut vuosien varrella mäkihyppääjien hyppyjä isosta mäestä. Hänen laskelmiensa mukaan hyppypituudet noudattaa normaalijakaumaa, jossa keskiarvo on 110 m ja keskihajonta 8 m, kun hypätään lähtölavalta viisi. Tutkitaan: Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu mäkihyppääjä hyppää alle 113 metriä?, GeoGebran todennäköisyyslaskurin, taulukkokirjan, CAS-laskimen ja GeoGebra Algebran avulla.

Ratkaisu:

Todennäköisyyslaskuri:

Taulukko:

Kun $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\overline{{\rm x}}{\rm ,s}\right)$ tai $\underline{x}{\rm \sim N}\left(\mu {\rm ,}\sigma \right)$ , niin merkitään: $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja silloin $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Nyt siis $\underline{x}{\rm \sim N}(110, 8)$ , niin merkitään: $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ ja silloin $\underline{z}{\rm \sim N}\left({\rm 0,1}\right)$ .

Normitetaan 113: $z=\frac{113-110}{8} =\frac{3}{8}=0,375 \approx 0,38$

$P( \underline{x}\le 113)=P(\underline{z}\le 0,38)=\Phi (0,38)=0,6480$

Taulukkokirjaa luetaan seuraavasti:

$\Phi (0,38)$ löytyy punaisella ympyröidystä kohdasta.

TI-Nspire:

Ti-Nspiressä voi käyttää suoraan normCdf(alkuarvo, loppuarvo, keskiarvo, keskihajonta).

Vaihtoehtoisesti tämän voi suorittaa kämmenlaitteella:

Casio:

Casion laskimella valitaan normCDf-funktio:

GeoGebra: Algebra

Käytetään Normaalijakauma-funktiota:

Alla olevassa kuvassa on käytetty Normaalijakauma(110, 8, x, false)-funktiota, jolla saadaan punainen käyrä piirrettyä. Kun kuvaa klikkaa, niin piirtoasetuksia voidaan muuttaa alla olevan kuvan mukaisesti, niin saadaan käyrä paremmin näkyviin. Valitaan edelleen ylävalikosta funktion analysointi-työkalu, joka on alla olevassa kuvassa reunustettu sinisellä.

Alla olevassa kuvassa on alue rajattu välille [0-113].

Esimerkki 2, Mäkihyppääjä hyppää jälleen

a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu mäkihyppääjä hyppää alle 106 metriä?

b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu mäkihyppääjä hyppää yli 116 metriä?

c) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu mäkihyppääjä hyppää välille 102 - 112 metriä?

Ratkaisu:

a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu mäkihyppääjä hyppää alle 106 metriä?

Normitetaan 106:

$z=\frac{106-110}{8} =-\frac{1}{2}=-0,5$

$P(\underline{x}\le 106)=P(\underline{z}\le -0,5)=\Phi (-0,5)=1-\Phi (0,5)=1-0,6915=0,3085$

Vastaus: Mäkihyppääjä hyppää alle 106 metriä noin 31 %:n todennäköisyydellä.

b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu mäkihyppääjä hyppää yli 116 metriä?

Normitetaan 116: $z=\frac{116-110}{8} =\frac{3}{4}=0,75$

$P(\underline{x}\ge 116)=P(\underline{z}\ge 0,75)=1-\Phi (0,75)=1-=1-0,7734=0,2266$

Vastaus: Mäkihyppääjä hyppää yli 116 metriä noin 23 %n todennäköisyydellä.

c) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu mäkihyppääjä hyppää välille 102 - 112 metriä?

Normitetaan 102: $z=\frac{102-110}{8} =-1$

Normitetaan 112: $z=\frac{112-110}{8} =\frac{1}{4}=0,25$

$P(102 \le \underline{x}\le 112)=P(-1 \le \underline{z}\le 0,25)=\Phi (0,25) - \Phi (-1)=$

$\Phi (0,25) -(1- \Phi (1))=\Phi (0,25) -1+ \Phi (1)=0,5987-1+0,8413=0,44$

Vastaus: Mäkihyppääjä hyppää välille 102 - 112 metriä noin 44 %:n todennäköisyydellä.

Soveltavia tehtäviä:

Toisinaan normaalijakauman tehtävissä joutuu selvittämään keskihajonnan tai keskiarvon. Tallaiset tehtävät voi laskea taulukkokirjan mukaisesti tai sitten hyväksikäyttäen taulukkolaskentaohjelmaa.

Esimerkki 3, Eilan nauriit

Eila kasvatti kasvimaallaan nauriita. Sadonkorjuun jälkeen Eila punnitsi nauriit ja laski nauriiden keskipainoksi 800 g. Lukumäärien perusteella Eila päätteli, että nauriiden paino noudattaa normaalijakaumaa. Mikä pitäisi keskihajonnan olla, jotta satunnaisesti valittu nauris on alle 900 grammaa 80 %:n todennäköisyydellä?

Ratkaisu:

Siis $\overline{x}=800$ ja $P\left(\underline{x}\le 900\right)=0,8$ .

Voidaan päätellä, että $P\left(\underline{z}\le \frac{900-800}{s} \right)=0,8$ eli $\Phi \left(\frac{100}{s} \right)=0,8$ .

Normaalijakauman todennäköisyystaulukon perusteella 80%:n todennäköisyyttävastaa satunnaismuuttujan arvo on välillä [0,84 ; 0,85]. Käytetään arvoa 0,841.

Siis $\frac{100}{s} =0,841$ eli $s\approx 118,906$

Vastaus: Keskihajonnan tulee siis olla noin 119 grammaa.

Ratkaisu 2:

Tämä voidaan ratkaista myös Libre Officen taulukkolaskentaohjelmalla:

Aukaise tästä (aloitustiedosto) niin voit rakentaa ratkaisun.

Solussa D2 on lisätty NORM.JAKAUMA-funktio. Täytetään mallin mukaisesti eri solujen arvot dialogille ja saadaan kertymäfunktion arvo. Tämä kaava kopioidaan alaspäin kopioimalla se.

Tästä voit aukaista (ratkaisutiedoston).

Vastaus: Taulukon perusteella voidaan päätellä, että keskihajonnan olla korkeintaan 119 g, jotta satunnaisesti valittu nauris on alle 900 grammaa 80 %:n todennäköisyydellä.

Viimeksi muutettu: torstai 16. tammikuu 2020, 15.15

MAA10, Todennäköisyys ja tilastot

Sisältö

Teoreema

Teoreema

Tiheysfunktio

Esimerkki 1, Mäkihyppääjä

Esimerkki 2, Mäkihyppääjä hyppää jälleen

Soveltavia tehtäviä:

Esimerkki 3, Eilan nauriit