Kertolaskusääntö

Kertolaskusääntö

Todennäköisyyslaskennassa selvitetään toisinaan kahden sattuvan tapauksen todennäköisyyttä. Esimerkiksi: Mikä on todennäköisyys sille, että päivä on poutainen ja päivän maksimilämpötila on enemmän kuin +20 °C? Jos taikurilla on hatussa 5 vihreää palloa ja 4 punaista palloa, niin mikä on todennäköisyys sille, että kaksi ensimmäistä nostettua palloa ovat vihreitä? Sattuvat tapaukset ovat toisistaan riippumattomia tapauksia tai riippuvia tapauksia.

Riippumattomat tapaukset:

Jos tapaukset  ja  ovat toisistaan riippumattomia, niin todennäköisyys, että molemmat tapaukset sattuvat on:  ja

Esimerkki 1. Poutainen lämmin päivä.

Erään paikkakunnan säätilastojen mukaan heinäkuun toisella viikolla päivä on poutainen 40 %:n todennäköisyydellä ja maksimilämpötila yli +20 °C 70 %:n todennäköisyydellä.

Mikä on todennäköisyys sille, että kyseisellä paikkakunnalla on heinäkuun toisen viikon maanantaina pouta ja on lämmintä enemmän kuin +20 °C?

Ratkaisu:

Merkitään A="päivä on poutainen"

Merkitään B="päivän maksilämpötila on enemmän kuin +20 °C"

Koska tapaukset ovat toisistaan riippumattomia, niin

Vastaus: Kyseisellä paikkakunnalla on heinäkuun toisen viikon maanantaina pouta ja on lämmintä enemmän kuin +20 °C 28 %:n todennäköisyydellä.

Esimerkki 2. Arpakuutio ja lantti.

Mikä on todennäköisyys sille, että heitettäessä arpakuutiota ja lanttia saadaan lantilla kruunu ja arpakuutiolla vähintään silmäluku 3?

Ratkaisu:

Merkitään A="Saadaan kruunu"

Merkitään B="Saadaan arpakuutiolla vähintään silmäluku 3"

Nyt näiden riippumattomien tapausten todennäköisyys on:

Vastaus: Kysytty todennäköisyys on noin 30 %.

Riippuvat tapaukset:

Jos  ja  ovat toisistaan riippuvia tapauksia, niin todennäköisyys, että molemmat tapaukset sattuvat on: Merkintä  tarkoittaa tapahtuman  todennäköisyyttä, kun tiedetään, että tapahtuma  sattuu. Tätä kutsutaan myös ehdolliseksi todennäköisyydeksi.

 

Esimerkki 3. Taikurin vihreät pallot

Jos taikurilla on hatussa 5 vihreää palloa ja 4 punaista palloa, niin mikä on todennäköisyys sille, että kaksi ensimmäistä nostettua palloa ovat vihreitä?

Ratkaisu:

Merkitään, että ensimmäinen pallo on A ja toinen pallo on B.

Nyt

Vastaus: Kaksi ensimmäistä nostettua palloa ovat vihreitä noin 28 %:n todennäköisyydellä.

Esimerkki 4: Kalat lautasella

1. Kaloja ei tässä ensimmäisessä tilanteessa palauteta takaisin lautaselle. Millä todennäköisyydellä ensimmäinen otettu kala on ahven ja toinen särki?

2. Millä todennäköisyydellä ensimmäinen otettu kala on ahven ja toinen särki, jos otannan jälkeen kala aina palautetaan lautaselle?

3. Millä todennäköisyydellä lautaselta on saatu otettua yksi ahven ja särki, jos otannan jälkeen kala aina palautetaan lautaselle?

Ratkaisu:

Olkoon tapahtuma  "Otettu kala on ahven."

Olkoon tapahtuma  "Otettu kala on särki."

Ensimmäinen tapaus: 

 ja  

Toinen tapaus: 

 ja  

Kolmas tapaus: 

 ja  

Edellisen tehtävän kolmannessa tapauksessa tutustuttiin myös yhteenlaskusääntöön, joka opetellaan varsinaisesti seuraavassa luvussa. Edellistä tehtävää voi tarkastella myös taulukkolaskentaohjelmalla.

Esimerkki 5: Kalat LibreOfficella, Tapaukset 2 ja 3

Edellisen kalaesimerkin tapaukset 2 ja 3 voidaan laskea myös klassisella todennäköisyydellä.

Ratkaisu:

Työstetään tapaus 2 LibreOfficessa:

Suotuisia tapauksia on 8, joten  ja  

Työstetään tapaus 3 LibreOfficessa:

 

Suotuisia tapauksia on 16 ja  ja