MAA10PM: Yhteenlasku- ja komplementtisääntö sekä riippumattomien tapausten toistokoe

Yhteenlasku- ja komplementtisääntö sekä riippumattomien tapausten toistokoe

Introtehtävässä laskettiin todennäköisyys täsmälleen kahdelle aurinkoiselle päivälle kolmena peräkkäisenä päivänä Luvialla. Jos tiedetään, että mitkä kaksi päivää ovat aurinkoisia, niin todennäköisyys lasketaan siinä järjestyksessä esimerkiksi (p, q, p), missä p on aurinkoinen päivä ja q ei ole aurinkoinen päivä. Tarkemmin sanottuna aurinkoinen ja ei -aurinkoinen päivä ovat erillisiä tapahtumia ja niiden todennäköisyys lasketaan seuraavasti.

A = "aurinkoinen päivä, aurinkoinen päivä, ei -aurinkoinen päivä"

B = A = "aurinkoinen päivä, ei -aurinkoinen päivä, aurinkoinen päivä"

C = "ei -aurinkoinen päivä, aurinkoinen päivä, aurinkoinen päivä"

$P(A \ \ tai \ \ B \ \ tai \ \ C)=P(A) + P(B) + P(C)$

Tämä laskettiin erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännöllä.

$P(A) = 0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,3 \cdot 0,7 + 0,3 \cdot 0,7 \cdot 0,7 =0,441$

Yhteenlaskusääntö:

Jos tapahtumat $A$ ja $B$ ovat erillisiä keskenään,

niin niillä ei ole yhteisiä alkeistapauksia.

Siis $A\cap B$ $=$ $\varnothing$ .

Tapahtuman $A$ tai $B$ todennäköisyys lasketaan:

$P(A$ tai $B) = P(A) + P(B)$

Jos tapahtumat $A$ ja $B$ eivät ole erillisiä eli niillä on yhteisiä alkeistapauksia.

Niiden niiden leikkausjoukko $A\cap B$ $\ne$ $\varnothing$ .

Tapahtuman $A$ tai $B$ todennäköisyys lasketaan:

$P(A$ tai $B) = P(A) + P(B) - P(A$ ja $B)$ , missä

$P(A$ $ja$ $B) = P($ $A\cap B$ $)$

Huomaa, että yhteenlaskusääntö voidaan laajentaa useammalle erilliselle tapaukselle kuten tehtiin tämän luvun introtehtävässä.

Alla olevassa esimerkissä lasketaan todennäköisyyttä kahden arpakuution muodostaman summan jaollisuutta viidellä tai kolmella. Viidellä tai kolmella jaollisuus näin suppeassa joukossa (summa) on esimerkki erillisistä tapauksista.

Esimerkki 1: Kaksi arpakuutiota

Laske todennäköisyys sille, että heitettäessä kahta arpakuutiota saadaan niiden silmälukujen summaksi kolmella tai neljällä jaollinen luku.

Ratkaisu:

Taulukkolaskentaohjelmalla saadaan alkeistapaukset (kahden arpakuution summa) merkittyä:

Näiden summat ja vastaavat frekvenssit voidaan esittää taulukossa:

Merkitään A: Kolmella jaollisia summia on 2+5+4+1 = 12 kpl. Nämä ovat merkitty yllä olevassa kuvassa sinisellä ja violetilla.

Merkitään B: Neljällä jaollisia summia on 3+5+1 = 8 kpl. Nämä ovat merkitty yllä olevassa kuvassa punaisella ja violetilla.

Merkitään A ja B: Kahdellatoista jaollisia summia on 1 kpl. Tämä on merkitty yllä olevassa kuvassa violetilla.

Koska tapaukset eivät ole erillisiä tapauksia, niin käytetään kaavaa:

$P(A$ tai $B) = P(A) + P(B) - P(A$ ja $B)$

Sijoitetaan lasketut tapaukset kaavaan:

$P(A$ tai $B) =$ $\frac{12}{36} + \frac{8}{36}- \frac{1}{36} = \frac{19}{36}$ $\approx 0,528$ eli noin $53 \%$

Vastaus: Heitettäessä kahta noppaa saadaan viidellä tai kolmella jaollinen summa $53 \%$ todennäköisyydellä.

Voisi kuvitella, että lantin ja arpakuution heitto ovat erillisiä tapauksia keskenään. Jos tarkastellaan lantin ja arpakuution yhdistelmää alkeistapauksena, niin sitä ei pidä operoida erillisinä tapauksina. Ratkaisussa kaksi pyritään visualisoimaan alkeistapauksia.

Esimerkki 2: Lantti ja arpakuutio

Lantin heitossa mahdollisia tapauksia ovat kruunu (kr.) ja klaava (kl.). Arpakuution heitossa voidaan puolestaan saada silmäluvut $1 - 6$ . Iltapäivän ratoksi Jani heittää noppaa ja lanttia. Millä todennäköisyydellä hän saa yhdellä heittokerralla arpakuution silmäluvun yksi tai lantin puoleksi kruunu?

Ratkaisu:

Merkitään: $A =$ "Arpakuution heitolla saadaan silmäluku 1." , $B =$ "Lantin heitolla saadaan kruunu." ja $A \cap B =$ "Saadaan arpakuution silmäluvuksi 1 ja lantin puoleksi kruunu."

Siis $P(A$ tai $B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A$ tai $B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \approx 0,58$

Vastaus: Yhdellä heittokerralla arpakuution silmäluvun yksi tai lantin puoleksi kruunu saadaan todennäköisyydeksi 58 %.

Ratkaisu 2:

Luetteloidaan tapaukset taulukkolaskentaohjelmalla:

Saadaan silmäluku yksi:

Saadaan kruunu:

Saadaan kruunu ja silmäluku yksi:

$P(A$ tai $B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) =$ $\frac{2}{12} + \frac{6}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \approx 0,58$

Vastaus: Yhdellä heittokerralla arpakuution silmäluvun yksi tai lantin puoleksi kruunu saadaan todennäköisyydeksi 58 %.

Komplementtisääntö

Introtehtävässä merkittiin todennäköisyyttä on aurinkoinen päivä $p = 0,7$ ja sen vastatodennäköisyys, ei ole aurinkoinen päivä $q = 0,3$ . Yhtä hyvin näitä voitaisiin nimittää suotuisa todennäköisyys ja komplementtitodennäköisyys. Esimerkiksi binomitodennäköisyyksiä laskettaessa käytetään merkintöjä p ja q. Usein suotuisan tapauksen $A$ , vastatodennäköisyys eli komplementti merkitään $\overline{A}$ .

Jos suotuisan tapahtuma on $A$ , niin sen komplementti on $\overline{A}$ . Todennäköisyysavaruudessa $E$ voidaan määrittää komplementtisääntö: $P(A) + P(\overline{A})=1$ . Toisin sanoen tapahtuman $A$ ja sen komplementin $\overline{A}$ summa on yksi.

Esimerkki 3: Arpakuution kolmoset

Heitetään painottamatonta arpakuutiota. Laske komplementtisääntöä hyväksikäyttäen todennäköisyys, että saadaan ainakin yksi kolmonen, kun arpakuutiota heitetään:

a) yhden kerran.

b) kaksi kertaa.

Ratkaisu:

Merkitään $A =$ "Saadaan ainakin yksi kolmonen." ja $\overline{A}$ $=$ "Ei saada yhtään kolmosta."

$P(\bar{A}) = \left(\frac{5}{6} \right)$

a) $P(A) = 1 - P(\bar{A})$

Siis $P(A) = 1 - \frac{5}{6}$ $=\frac{1}{6}$

b) $P(A) = 1 - P(\bar{A})^{2}$

$P(A) = 1 - \left(\frac{5}{6} \right)^{2} =$ $\frac{11}{36}$ $\approx 0,3055$

Komplementtisääntöä voidaan usein hyödyntää riippumattomien tapausten toistokokeessa, erityisesti kun n kasvaa.

Riippumattomien tapausten toistokoe

Kun selvitellään riippumattomien tapausten toistokoetta, missä samaa koetta toistettaessa todennäköisyys ei muutu, niin komplementtitodennäköisyyden hyödyntäminen on kätevää. Esimerkiksi lantin heitossa klaavan tai kruunun todennäköisyys on 50 %. Vastaavasti arpakuutiota heitettäessä minkä tahansa arpakuution silmäluvun todennäköisyys on $\frac{1}{6}$ . Esimerkkinä riippumattomien tapausten todennäköisyytenä voidaan esimerkiksi selvittää: Kuinka monta kertaa on arpakuutiota heitettävä, jotta saataisiin ainakin yksi kolmonen 95 %:n todennäköisyydellä. Tämä voidaan laskea perinteisesti laskea käyttämällä logaritmeja tai vaihtoehtoisesti taulukkolaskentaohjelma sopii vallan mainiosti tällaisen tehtävän ratkaisuun.